Номер 16, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (2) Для следующих функций определите интервалы монотонности (используя производную):

а) $f(x)=5\sin(-x)+5\operatorname{tg}5$;

б) $g(x)=-2\cos3x-6x\cos\frac{3\pi}{4}$;

в) $h(x)=\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)-2x.$

a) $f(x) = 5\sin(-x) + 5\tan(5)$

1. Нахождение производной.

Сначала упростим выражение для функции. Так как синус — нечетная функция, $\sin(-x) = -\sin(x)$. Слагаемое $5\tan(5)$ является константой, так как не содержит переменной $x$.

$f(x) = -5\sin(x) + 5\tan(5)$

Найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$:

$f'(x) = (-5\sin(x) + 5\tan(5))' = -5(\sin(x))' + (5\tan(5))' = -5\cos(x) + 0 = -5\cos(x)$

2. Определение знака производной.

Интервалы монотонности определяются знаком производной. Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, и убывает, когда $f'(x) < 0$.

Найдем интервалы, на которых $f'(x) > 0$ (возрастание):

$-5\cos(x) > 0$

$\cos(x) < 0$

Это неравенство выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем интервалы, на которых $f'(x) < 0$ (убывание):

$-5\cos(x) < 0$

$\cos(x) > 0$

Это неравенство выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ производная равна нулю, это стационарные точки.

Ответ: функция возрастает на интервалах $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$ и убывает на интервалах $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $g(x) = -2\cos(3x) - 6x\cos(\frac{3\pi}{4})$

1. Нахождение производной.

Сначала упростим выражение для функции. Вычислим значение константы $\cos(\frac{3\pi}{4})$:

$\cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим это значение в функцию:

$g(x) = -2\cos(3x) - 6x(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2\cos(3x) + 3\sqrt{2}x$

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (-2\cos(3x) + 3\sqrt{2}x)' = -2(-\sin(3x) \cdot 3) + 3\sqrt{2} = 6\sin(3x) + 3\sqrt{2}$

2. Определение знака производной.

Найдем интервалы возрастания ($g'(x) > 0$):

$6\sin(3x) + 3\sqrt{2} > 0$

$6\sin(3x) > -3\sqrt{2}$

$\sin(3x) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решая это тригонометрическое неравенство, получаем:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < 3x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим все части на 3:

$-\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$

Найдем интервалы убывания ($g'(x) < 0$):

$6\sin(3x) + 3\sqrt{2} < 0$

$\sin(3x) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решая это неравенство, получаем:

$\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < 3x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим все части на 3:

$\frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{7\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$

Ответ: функция возрастает на интервалах $[-\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}]$ и убывает на интервалах $[\frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{7\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $h(x) = \sin(4x - \frac{\pi}{3}) - 2x$

1. Нахождение производной.

Найдем производную функции $h(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования разности:

$h'(x) = (\sin(4x - \frac{\pi}{3}) - 2x)' = (\sin(4x - \frac{\pi}{3}))' - (2x)'$

$h'(x) = \cos(4x - \frac{\pi}{3}) \cdot (4x - \frac{\pi}{3})' - 2 = 4\cos(4x - \frac{\pi}{3}) - 2$

2. Определение знака производной.

Найдем интервалы возрастания ($h'(x) > 0$):

$4\cos(4x - \frac{\pi}{3}) - 2 > 0$

$4\cos(4x - \frac{\pi}{3}) > 2$

$\cos(4x - \frac{\pi}{3}) > \frac{1}{2}$

Решим это тригонометрическое неравенство. Обозначим $u = 4x - \frac{\pi}{3}$. Неравенство $\cos(u) > \frac{1}{2}$ выполняется при:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < u < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим обратно $u = 4x - \frac{\pi}{3}$:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 4x - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям:

$2\pi k < 4x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим на 4:

$\frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$

Найдем интервалы убывания ($h'(x) < 0$):

$\cos(4x - \frac{\pi}{3}) < \frac{1}{2}$

Неравенство $\cos(u) < \frac{1}{2}$ выполняется при:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < u < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим обратно $u = 4x - \frac{\pi}{3}$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 4x - \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$

Прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 4x < 2\pi + 2\pi k$

Разделим на 4:

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi k}{2}$

Ответ: функция возрастает на интервалах $[\frac{\pi k}{2}, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}]$ и убывает на интервалах $[\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \frac{\pi}{2} + \frac{\pi k}{2}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.