Номер 9, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (3) При каких значениях параметра a функция $f(x)=x^2+2ax-17$:

a) убывает на интервале $x \in (-\infty;4)$ и возрастает на интервале $x \in (4;+\infty)$;

б) убывает на интервале $x \in (-\infty;4)$?

Данная функция $f(x) = x^2 + 2ax - 17$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число). Такая парабола имеет точку минимума (вершину), убывает на промежутке до вершины и возрастает после неё.

Найдём абсциссу вершины параболы $x_v$. Для параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае коэффициенты $A=1$ и $B=2a$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{2a}{2 \cdot 1} = -a$.

Следовательно, функция $f(x)$ убывает на интервале $(-\infty; -a]$ и возрастает на интервале $[-a; +\infty)$.

а) убывает на интервале $x \in (-\infty; 4)$ и возрастает на интервале $x \in (4; +\infty)$

Согласно условию, функция должна менять характер монотонности (с убывания на возрастание) в точке $x=4$. Это означает, что вершина параболы, являющаяся точкой минимума, должна иметь абсциссу $x=4$.

Приравняем абсциссу вершины к этому значению:

$x_v = -a = 4$

Отсюда находим искомое значение параметра $a$:

$a = -4$

При $a = -4$ функция имеет вид $f(x) = x^2 - 8x - 17$. Ее вершина находится в точке $x = -(-4) = 4$. Соответственно, функция убывает на интервале $(-\infty; 4]$ и возрастает на интервале $[4; +\infty)$, что полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $a = -4$.

б) убывает на интервале $x \in (-\infty; 4)$?

Мы установили, что область убывания функции $f(x)$ — это интервал $(-\infty; -a]$. Чтобы функция убывала на заданном интервале $(-\infty; 4)$, этот интервал должен полностью содержаться в области убывания функции.

То есть, должно выполняться включение: $(-\infty; 4) \subseteq (-\infty; -a]$.

Это условие будет верным, если правая граница интервала $(-\infty; 4)$, то есть число $4$, будет меньше или равна правой границе интервала $(-\infty; -a]$, то есть числу $-a$.

Запишем это в