Номер 13, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (2) Функция

$f(x) = \frac{x^{2014} (x^2 - 1)^{2015} (x+11)^4}{(4-x)^5}$ является производной от некоторой функции $F(x)$. Определите интервалы возрастания функции $F(x)$.

Функция $F(x)$ возрастает на тех интервалах, где ее производная $F'(x)$ неотрицательна, то есть $F'(x) \ge 0$. По условию задачи, производной функции $F(x)$ является функция $f(x)$, следовательно, $F'(x) = f(x)$. Нам необходимо найти интервалы, на которых выполняется неравенство $f(x) \ge 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^{2014}(x^2-1)^{2015}(x+11)^4}{(4-x)^5}$.

Для решения неравенства $f(x) \ge 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала определим область определения функции и найдем ее нули (точки, где числитель или знаменатель равны нулю).

Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $(4-x)^5 \neq 0$, откуда $x \neq 4$. Таким образом, область определения: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Критические точки найдем, приравняв числитель и знаменатель к нулю.
Нули числителя: $x^{2014}(x^2-1)^{2015}(x+11)^4 = 0$.
Корни этого уравнения:$x = 0$ (из множителя $x^{2014}$). Так как показатель степени 2014 четный, знак функции при переходе через эту точку не меняется.
$x = 1$ и $x = -1$ (из множителя $(x^2-1)^{2015}$). Так как показатель степени 2015 нечетный, знак функции при переходе через эти точки меняется.
$x = -11$ (из множителя $(x+11)^4$). Так как показатель степени 4 четный, знак функции при переходе через эту точку не меняется.
Нуль знаменателя: $4-x=0 \implies x=4$. Так как множитель $(4-x)$ находится в нечетной степени 5, знак функции при переходе через эту точку меняется.

Отметим на числовой оси все критические точки $(-11, -1, 0, 1, 4)$ и определим знак функции на полученных интервалах. Для этого определим знак на одном из интервалов, например, на крайнем правом $(4, +\infty)$. Возьмем пробную точку $x=5$:
$f(5) = \frac{5^{2014}(5^2-1)^{2015}(5+11)^4}{(4-5)^5} = \frac{(+)(+)(+)}{(-)} < 0$.
Теперь, двигаясь по числовой оси справа налево, определим знаки в остальных интервалах, учитывая кратность корней:
- Интервал $(4, +\infty)$: $f(x) < 0$.
- Переходим через $x=4$ (нечетная кратность): знак меняется на "+". Интервал $(1, 4)$: $f(x) > 0$.
- Переходим через $x=1$ (нечетная кратность): знак меняется на "−". Интервал $(0, 1)$: $f(x) < 0$.
- Переходим через $x=0$ (четная кратность): знак не меняется. Интервал $(-1, 0)$: $f(x) < 0$.
- Переходим через $x=-1$ (нечетная кратность): знак меняется на "+". Интервал $(-11, -1)$: $f(x) > 0$.
- Переходим через $x=-11$ (четная кратность): знак не меняется. Интервал $(-\infty, -11)$: $f(x) > 0$.

Интервалы возрастания функции $F(x)$ соответствуют промежуткам, где $f(x) \ge 0$.
Из нашего анализа следует, что $f(x) > 0$ на $(-\infty, -11) \cup (-11, -1) \cup (1, 4)$.
Также $f(x)=0$ в точках $x=-11, x=-1, x=0, x=1$.
Объединяем эти результаты:Функция $F(x)$ возрастает на объединении интервалов $(-\infty, -11)$, $(-11, -1)$ и в точках $x=-11$ и $x=-1$. Поскольку функция $F(x)$ непрерывна (так как она дифференцируема), мы можем объединить эти промежутки в один: $(-\infty, -1]$.
Функция $F(x)$ также возрастает на интервале $(1, 4)$ и в точке $x=1$, что дает промежуток $[1, 4)$.
Точка $x=0$ не входит в интервалы возрастания, так как в ее окрестности производная $f(x)$ отрицательна (кроме самой точки).

Таким образом, функция $F(x)$ возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, 4)$.