Номер 2, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (2) Определите интервалы возрастания и интервалы убывания функций:

a) $f(x) = -x^4 + 3x^3 - 9;$

б) $g(x) = 3x^5 - 20x^3 + 87;$

в) $h(x) = \frac{(x-2)^3}{x}.$

а)Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции $f(x) = -x^4 + 3x^3 - 9$ найдем ее производную.
Область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
$f'(x) = (-x^4 + 3x^3 - 9)' = -4x^3 + 9x^2$.
Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$-4x^3 + 9x^2 = 0$
$x^2(-4x + 9) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{9}{4} = 2.25$.
Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{9}{4})$ и $(\frac{9}{4}; +\infty)$.
Определим знак производной на каждом из этих интервалов:
1. Интервал $(-\infty; 0)$: возьмем пробную точку $x = -1$.
$f'(-1) = -4(-1)^3 + 9(-1)^2 = 4 + 9 = 13 > 0$. Функция возрастает.
2. Интервал $(0; \frac{9}{4})$: возьмем пробную точку $x = 1$.
$f'(1) = -4(1)^3 + 9(1)^2 = -4 + 9 = 5 > 0$. Функция возрастает.
3. Интервал $(\frac{9}{4}; +\infty)$: возьмем пробную точку $x = 3$.
$f'(3) = -4(3)^3 + 9(3)^2 = -4(27) + 9(9) = -108 + 81 = -27 < 0$. Функция убывает.
Поскольку функция возрастает на интервалах $(-\infty; 0]$ и $[0; \frac{9}{4}]$, она возрастает на их объединении.
Ответ: функция возрастает на интервале $(-\infty; \frac{9}{4}]$ и убывает на интервале $[\frac{9}{4}; +\infty)$.

б)Найдем интервалы возрастания и убывания для функции $g(x) = 3x^5 - 20x^3 + 87$.
Область определения функции - все действительные числа, $D(g) = (-\infty; +\infty)$.
Найдем производную функции:
$g'(x) = (3x^5 - 20x^3 + 87)' = 15x^4 - 60x^2$.
Найдем критические точки, решив уравнение $g'(x) = 0$:
$15x^4 - 60x^2 = 0$
$15x^2(x^2 - 4) = 0$
$15x^2(x-2)(x+2) = 0$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.
Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак производной на каждом интервале:
1. Интервал $(-\infty; -2)$: возьмем $x = -3$.
$g'(-3) = 15(-3)^2((-3)^2 - 4) = 15 \cdot 9 \cdot (9-4) > 0$. Функция возрастает.
2. Интервал $(-2; 0)$: возьмем $x = -1$.
$g'(-1) = 15(-1)^2((-1)^2 - 4) = 15 \cdot 1 \cdot (1-4) < 0$. Функция убывает.
3. Интервал $(0; 2)$: возьмем $x = 1$.
$g'(1) = 15(1)^2(1^2 - 4) = 15 \cdot 1 \cdot (1-4) < 0$. Функция убывает.
4. Интервал $(2; +\infty)$: возьмем $x = 3$.
$g'(3) = 15(3)^2(3^2 - 4) = 15 \cdot 9 \cdot (9-4) > 0$. Функция возрастает.
Объединяем интервалы убывания.
Ответ: функция возрастает на интервалах $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$, убывает на интервале $[-2; 2]$.

в)Найдем интервалы возрастания и убывания для функции $h(x) = \frac{(x-2)^3}{x}$.
Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(h) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$h'(x) = \frac{((x-2)^3)' \cdot x - (x-2)^3 \cdot (x)'}{x^2} = \frac{3(x-2)^2 \cdot 1 \cdot x - (x-2)^3 \cdot 1}{x^2}$
$h'(x) = \frac{3x(x-2)^2 - (x-2)^3}{x^2} = \frac{(x-2)^2(3x - (x-2))}{x^2}$
$h'(x) = \frac{(x-2)^2(2x+2)}{x^2} = \frac{2(x-2)^2(x+1)}{x^2}$.
Найдем критические точки. Производная равна нулю, если числитель равен нулю:
$2(x-2)^2(x+1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$.
Производная не определена при $x=0$, что совпадает с ограничением области определения.
Точки $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ разбивают область определения на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак производной. Знаменатель $x^2$ и множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицательны, поэтому знак $h'(x)$ зависит только от знака множителя $(x+1)$.
1. Интервал $(-\infty; -1)$: $x+1 < 0 \implies h'(x) < 0$. Функция убывает.
2. Интервал $(-1; 0)$: $x+1 > 0 \implies h'(x) > 0$. Функция возрастает.
3. Интервал $(0; 2)$: $x+1 > 0 \implies h'(x) > 0$. Функция возрастает.
4. Интервал $(2; +\infty)$: $x+1 > 0 \implies h'(x) > 0$. Функция возрастает.
Объединяем интервалы возрастания.
Ответ: функция убывает на интервале $(-\infty; -1]$ и возрастает на интервалах $[-1; 0)$ и $(0; +\infty)$.