Номер 5, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (3) Докажите, что:

а) функция $f(x)=-\frac{1}{3}x^3-x^2+x-2014$ возрастает на всей области определения;

б) функция $g(x)=2\cos x-3x$ убывает на всей области определения;

в) функция $h(x)=\arcsin x+\sqrt{1-x^2}$ возрастает на всей области определения.

а) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x - 2014$ возрастает на всей области определения, найдем ее производную и определим ее знак. Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x - 2014)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x + 1 = x^2 - 2x + 1$.Полученное выражение можно представить в виде полного квадрата:$f'(x) = (x-1)^2$.Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$ из области определения. Производная равна нулю только в точке $x=1$, а на всех остальных участках области определения она строго положительна. Согласно достаточному условию возрастания функции, если производная $f'(x) \ge 0$ на некотором промежутке и обращается в ноль лишь в отдельных точках, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке. Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на всей своей области определения.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что функция $g(x) = 2\cos x - 3x$ убывает на всей области определения, найдем ее производную и определим ее знак. Область определения функции $D(g) = (-\infty; +\infty)$, так как функции $\cos x$ и $3x$ определены для всех действительных чисел. Найдем производную функции $g(x)$:$g'(x) = (2\cos x - 3x)' = -2\sin x - 3$.Оценим диапазон значений производной. Известно, что множество значений синуса ограничено отрезком $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.Умножим все части неравенства на $-2$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:$(-1) \cdot (-2) \ge -2\sin x \ge 1 \cdot (-2)$, что дает $2 \ge -2\sin x \ge -2$.Теперь вычтем $3$ из всех частей неравенства:$2 - 3 \ge -2\sin x - 3 \ge -2 - 3$,$-1 \ge g'(x) \ge -5$.Таким образом, значение производной $g'(x)$ всегда находится в пределах от $-5$ до $-1$, то есть $g'(x) < 0$ для любого действительного числа $x$. Поскольку производная функции отрицательна на всей области определения, функция $g(x)$ убывает на всей области определения.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать, что функция $h(x) = \arcsin x + \sqrt{1-x^2}$ возрастает на всей области определения, найдем ее производную и определим ее знак. Сначала определим область определения $D(h)$. Функция $\arcsin x$ определена при $-1 \le x \le 1$. Функция $\sqrt{1-x^2}$ определена при $1-x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 1$, или $-1 \le x \le 1$. Таким образом, область определения функции $h(x)$ есть отрезок $D(h) = [-1; 1]$.Найдем производную функции $h(x)$ на интервале $(-1; 1)$:$h'(x) = (\arcsin x + \sqrt{1-x^2})' = (\arcsin x)' + (\sqrt{1-x^2})'$.Производная арксинуса: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.Производная квадратного корня: $(\sqrt{1-x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (1-x^2)' = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.Складываем полученные производные:$h'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}$.Преобразуем знаменатель, используя формулу разности квадратов: $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{(1-x)(1+x)}$.Тогда $h'(x) = \frac{1-x}{\sqrt{(1-x)(1+x)}} = \frac{\sqrt{(1-x)^2}}{\sqrt{(1-x)(1+x)}} = \sqrt{\frac{(1-x)^2}{(1-x)(1+x)}} = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$.На интервале $x \in (-1; 1)$ числитель $1-x$ строго больше нуля, и знаменатель $1+x$ также строго больше нуля. Следовательно, дробь $\frac{1-x}{1+x} > 0$, а значит и ее квадратный корень $h'(x) > 0$ на всем интервале $(-1; 1)$.Функция $h(x)$ непрерывна на отрезке $[-1; 1]$ и ее производная $h'(x) > 0$ на интервале $(-1; 1)$. Из этого следует, что функция $h(x)$ возрастает на всей своей области определения $[-1; 1]$.
Ответ: Что и требовалось доказать.