Номер 3, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (2) Исследуйте на монотонность функции:

а) $f(x)=\sqrt{6x+24}$;

б) $g(x)=\sqrt{x^2-4}$;

в) $h(x)=x\sqrt{1-x^2}$;

г) $u(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2}}$.

а) $f(x) = \sqrt{6x + 24}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:$6x + 24 \ge 0$$6x \ge -24$$x \ge -4$Область определения $D(f) = [-4, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:$f'(x) = (\sqrt{6x + 24})' = \frac{1}{2\sqrt{6x + 24}} \cdot (6x + 24)' = \frac{6}{2\sqrt{6x + 24}} = \frac{3}{\sqrt{6x + 24}}$.

3. Определим знак производной. Производная определена для всех $x > -4$.Числитель дроби равен 3 (положительное число).Знаменатель $\sqrt{6x + 24}$ также всегда положителен при $x > -4$.Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из интервала $(-4, +\infty)$.

4. Так как производная функции положительна на всей области определения (кроме точки $x=-4$, где она не определена, но функция непрерывна), функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-4, +\infty)$.

б) $g(x) = \sqrt{x^2 - 4}$

1. Найдем область определения функции:$x^2 - 4 \ge 0$$(x-2)(x+2) \ge 0$Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.Область определения $D(g) = (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:$g'(x) = (\sqrt{x^2 - 4})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 4}} \cdot (x^2 - 4)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}$.

3. Определим знак производной. Производная определена при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.Знаменатель $\sqrt{x^2 - 4}$ всегда положителен.Знак производной $g'(x)$ совпадает со знаком числителя $x$.- При $x > 2$, $g'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.- При $x < -2$, $g'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

4. Учитывая непрерывность функции в точках $x=-2$ и $x=2$, получаем промежутки монотонности.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

в) $h(x) = x\sqrt{1 - x^2}$

1. Найдем область определения функции:$1 - x^2 \ge 0$$x^2 \le 1$$-1 \le x \le 1$Область определения $D(h) = [-1, 1]$.

2. Найдем производную функции, используя правило произведения:$h'(x) = (x)'\sqrt{1 - x^2} + x(\sqrt{1 - x^2})' = 1 \cdot \sqrt{1 - x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = \sqrt{1 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$$h'(x) = \frac{1 - x^2 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$.

3. Определим знак производной. Производная определена при $x \in (-1, 1)$.Знаменатель $\sqrt{1 - x^2}$ положителен на этом интервале.Знак $h'(x)$ совпадает со знаком числителя $1 - 2x^2$.Найдем нули числителя: $1 - 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1/2 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.Эти точки разбивают интервал $(-1, 1)$ на три части:- При $x \in (-1, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, $h'(x) < 0$, функция убывает.- При $x \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $h'(x) > 0$, функция возрастает.- При $x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$, $h'(x) < 0$, функция убывает.

4. Учитывая непрерывность функции на отрезке $[-1, 1]$, получаем промежутки монотонности.

Ответ: функция убывает на промежутках $[-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}]$ и $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$, возрастает на промежутке $[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$.

г) $u(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2}}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:$x^2 - 2 > 0$$x^2 > 2$$x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$.Область определения $D(u) = (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило частного:$u'(x) = \frac{(x-1)'\sqrt{x^2-2} - (x-1)(\sqrt{x^2-2})'}{(\sqrt{x^2-2})^2} = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2-2} - (x-1) \frac{x}{\sqrt{x^2-2}}}{x^2-2}$$u'(x) = \frac{\frac{x^2-2 - x(x-1)}{\sqrt{x^2-2}}}{x^2-2} = \frac{x^2-2 - x^2+x}{(x^2-2)\sqrt{x^2-2}} = \frac{x-2}{(x^2-2)^{3/2}}$.

3. Определим знак производной. Производная определена на всей области определения функции.Знаменатель $(x^2-2)^{3/2}$ всегда положителен.Знак $u'(x)$ совпадает со знаком числителя $x-2$.Нуль числителя: $x-2 = 0 \Rightarrow x=2$. Эта точка принадлежит области определения, так как $2 > \sqrt{2}$.- При $x > 2$, $u'(x) > 0$, функция возрастает.- При $x < 2$ (и в пределах области определения), $u'(x) < 0$, функция убывает.

4. Разобьем область определения точкой $x=2$:- На интервале $(-\infty, -\sqrt{2})$, $x < 2$, поэтому $u'(x) < 0$ и функция убывает.- На интервале $(\sqrt{2}, 2)$, $x < 2$, поэтому $u'(x) < 0$ и функция убывает.- На интервале $(2, +\infty)$, $x > 2$, поэтому $u'(x) > 0$ и функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}, 2]$, возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.