Номер 2, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 2

На рисунке 1 изображен график некоторой функции $y = f(x)$.

Рис. 1

Напоминаем, что если достаточно маленький участок графика, содержащий точку с абсциссой $x$, похож на отрезок прямой, то говорят, что $f(x)$ имеет производную в точке $x$, и значение производной равно угловому коэффициенту $k$ касательной в этой точке. В противном случае считаем, что в точке $x$ не существует производной (например, в точках «излома» $x=-3$ и $x=7$).

а) Постепенно увеличивая значение $x$ от $-5$ до $9$, проследить за знаком коэффициента $k$ касательной в соответствующей точке графика. На отдельной числовой оси изобразить знаки производной $f'(x)$.

б) Найти интервалы возрастания и интервалы убывания функции $f(x)$.

Каким образом связаны между собой результаты а) и б) ? В чем причина?

в) Чему равны $k$ и $f'(x)$ в точках $x = -1, x = 3$?

Пусть $y = kx + m$ – линейная функция и $k > 0$. Если $x_1 > x_2$ – произвольные числа, то

$y_1 - y_2 = (kx_1 + m) - (kx_2 + m) = k(x_1 - x_2) > 0, y_1 > y_2$.

Большему значению аргумента соответствует большее значение линейной функции (рис. 2).

Следовательно, если $k > 0$, то функция $y=kx+m$ – строго возрастающая. Аналогично доказывается, что если $k<0$, то функция $y=kx+m$ – строго убывающая.

Рис. 2

а) Значение производной $f'(x)$ в каждой точке равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной к графику функции $f(x)$ в этой точке. Знак коэффициента $k$ (а значит, и знак производной) определяется по поведению функции: если функция возрастает, то $k > 0$, если убывает — $k < 0$. Проанализируем график, двигаясь по оси $x$ от $-5$ до $9$.
- На интервале $(-5, -3)$ функция $f(x)$ возрастает (график идет вверх), следовательно, угловой коэффициент касательной $k$ положителен, и $f'(x) > 0$.
- В точке $x=-3$ график имеет излом (острый пик). В таких точках касательную провести нельзя, и производная не существует.
- На интервале $(-3, -1)$ функция $f(x)$ убывает (график идет вниз), следовательно, $k < 0$ и $f'(x) < 0$.
- В точке $x=-1$ находится локальный минимум. Касательная к графику в этой точке горизонтальна, ее угловой коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(-1) = 0$.
- На интервале $(-1, 3)$ функция $f(x)$ возрастает, следовательно, $k > 0$ и $f'(x) > 0$.
- В точке $x=3$ находится локальный максимум. Касательная в этой точке также горизонтальна, ее угловой коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(3) = 0$.
- На интервале $(3, 7)$ функция $f(x)$ убывает, следовательно, $k < 0$ и $f'(x) < 0$.
- В точке $x=7$ график имеет излом, поэтому производная в этой точке не существует.
- На интервале $(7, 9)$ функция $f(x)$ возрастает, следовательно, $k > 0$ и $f'(x) > 0$.
На числовой оси знаки производной $f'(x)$ будут чередоваться следующим образом: плюс на интервале $(-5, -3)$, минус на $(-3, -1)$, плюс на $(-1, 3)$, минус на $(3, 7)$ и плюс на $(7, 9)$. В точках $x=-3$ и $x=7$ производная не определена, а в точках $x=-1$ и $x=3$ она равна нулю.
Ответ: Производная $f'(x)$ положительна на интервалах $(-5, -3) \cup (-1, 3) \cup (7, 9)$; отрицательна на интервалах $(-3, -1) \cup (3, 7)$; равна нулю в точках $x=-1$ и $x=3$; не существует в точках $x=-3$ и $x=7$.

б) Интервалы возрастания и убывания функции $f(x)$ определяются визуально по графику.
- Функция возрастает там, где ее график направлен вверх при движении слева направо. Интервалы возрастания: $(-5, -3)$, $(-1, 3)$ и $(7, 9)$.
- Функция убывает там, где ее график направлен вниз при движении слева направо. Интервалы убывания: $(-3, -1)$ и $(3, 7)$.
Связь между результатами пунктов а) и б) является фундаментальным свойством дифференцируемых функций:
- Функция $f(x)$ возрастает на тех интервалах, где ее производная $f'(x)$ положительна.
- Функция $f(x)$ убывает на тех интервалах, где ее производная $f'(x)$ отрицательна.
Причина этой связи заключается в том, что производная $f'(x)$ представляет собой мгновенную скорость изменения функции. Если скорость положительна ($f'(x)>0$), то значения функции увеличиваются, то есть функция возрастает. Если же скорость отрицательна ($f'(x)<0$), значения функции уменьшаются, и функция убывает. Это объясняется тем, что поведение функции в малой окрестности точки приближается поведением ее касательной, а наклон касательной ($k = f'(x)$) и определяет, возрастает или убывает линейная функция, как это показано в условии на Рис. 2.
Ответ: Интервалы возрастания: $(-5, -3)$, $(-1, 3)$, $(7, 9)$. Интервалы убывания: $(-3, -1)$, $(3, 7)$. Связь: функция возрастает, когда ее производная положительна, и убывает, когда ее производная отрицательна. Причина: знак производной определяет направление изменения функции (положительная производная — рост, отрицательная — убывание).

в) В точках $x=-1$ и $x=3$ находятся точки локальных экстремумов функции (минимум и максимум соответственно). В этих точках график функции гладкий, без изломов, и касательная к нему является горизонтальной прямой.
Угловой коэффициент $k$ любой горизонтальной прямой равен нулю.
Поскольку значение производной $f'(x)$ в точке по определению равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной в этой точке, то:
- в точке $x=-1$ имеем $k=0$, следовательно, $f'(-1)=0$.
- в точке $x=3$ имеем $k=0$, следовательно, $f'(3)=0$.
Ответ: В точках $x=-1$ и $x=3$ угловой коэффициент касательной $k$ и значение производной $f'(x)$ равны нулю: $k=0$ и $f'(x)=0$.