Номер 51, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

51. (3)

К графику функции $y=3x-x^2$ проведены две касательные. Первая касательная проведена в точке на графике с абсциссой $x_0=2$, вторая в точке максимума данной функции. Найдите площадь треугольника, образованного осью ординат и этими касательными.

Первая касательная, проведенная в точке на графике с абсциссой $x_0=2$

Для нахождения уравнения касательной используется формула $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = y = 3x - x^2$.
Найдем ее производную: $f'(x) = (3x - x^2)' = 3 - 2x$.
Первая касательная проведена в точке с абсциссой $x_0 = 2$. Вычислим значение функции и ее производной в этой точке:
$f(2) = 3 \cdot 2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$.
$f'(2) = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1$.
Подставим найденные значения в формулу касательной:
$y = 2 + (-1)(x - 2) = 2 - x + 2 = 4 - x$.
Уравнение первой касательной: $y = -x + 4$.

Вторая касательная, проведенная в точке максимума данной функции

Чтобы найти точку максимума, необходимо найти точку, в которой производная функции равна нулю:
$f'(x) = 0 \implies 3 - 2x = 0 \implies 2x = 3 \implies x_{max} = 1.5$.
Это абсцисса точки касания для второй касательной. Найдем ординату этой точки:
$f(1.5) = 3 \cdot 1.5 - (1.5)^2 = 4.5 - 2.25 = 2.25$.
Значение производной в точке максимума равно нулю, $f'(1.5) = 0$. Это означает, что касательная является горизонтальной прямой.
Ее уравнение: $y = 2.25$.

Площадь треугольника, образованного осью ординат и этими касательными

Треугольник образован тремя прямыми: первой касательной $y = -x + 4$, второй касательной $y = 2.25$ и осью ординат, уравнение которой $x = 0$.
Найдем вершины этого треугольника как точки пересечения этих прямых:
1. Пересечение двух касательных:$ -x + 4 = 2.25 \implies x = 4 - 2.25 = 1.75$.Координаты первой вершины: $(1.75, 2.25)$.
2. Пересечение первой касательной с осью ординат ($x=0$):$y = -0 + 4 = 4$.Координаты второй вершины: $(0, 4)$.
3. Пересечение второй касательной с осью ординат ($x=0$):$y = 2.25$.Координаты третьей вершины: $(0, 2.25)$.
Основание треугольника лежит на оси ординат, его длина равна модулю разности ординат второй и третьей вершин:
$a = |4 - 2.25| = 1.75$.
Высота треугольника, проведенная к этому основанию, равна абсциссе первой вершины:
$h = 1.75$.
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} a \cdot h$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 1.75 \cdot 1.75 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{7}{4})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{16} = \frac{49}{32}$.

Ответ: $\frac{49}{32}$