Номер 55, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

55. (2) Решите уравнения:

a) $x^2 + 4|x - 3| - 7x + 11 = 0$

б) $(3|x + 1| + \frac{1}{3})^2 = 6(x + 1)^2 + \frac{10}{9}$

а) $x^2+4|x-3|-7x+11=0$

Данное уравнение содержит модуль, поэтому для его решения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно, то есть $x-3 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 3$.

В этом случае $|x-3|=x-3$, и уравнение принимает вид:

$x^2+4(x-3)-7x+11=0$

$x^2+4x-12-7x+11=0$

$x^2-3x-1=0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2-4ac = (-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9+4=13$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 3$.

Корень $x_1 = \frac{3+\sqrt{13}}{2}$. Так как $\sqrt{9} < \sqrt{13} < \sqrt{16}$, то $3 < \sqrt{13} < 4$. Следовательно, $\frac{3+3}{2} < \frac{3+\sqrt{13}}{2}$, то есть $3 < x_1$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 3$.

Корень $x_2 = \frac{3-\sqrt{13}}{2}$. Так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, то $x_2 \approx \frac{3-3.6}{2} = -0.3$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 3$.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно, то есть $x-3 < 0$, что эквивалентно $x < 3$.

В этом случае $|x-3|=-(x-3)=3-x$, и уравнение принимает вид:

$x^2+4(3-x)-7x+11=0$

$x^2+12-4x-7x+11=0$

$x^2-11x+23=0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = b^2-4ac = (-11)^2-4 \cdot 1 \cdot 23 = 121-92=29$

Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{11 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x < 3$.

Корень $x_3 = \frac{11+\sqrt{29}}{2}$. Так как $\sqrt{25} < \sqrt{29} < \sqrt{36}$, то $5 < \sqrt{29} < 6$. Следовательно, $x_3 > \frac{11+5}{2} = 8$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < 3$.

Корень $x_4 = \frac{11-\sqrt{29}}{2}$. Так как $5 < \sqrt{29} < 6$, то $\frac{11-6}{2} < x_4 < \frac{11-5}{2}$, то есть $2.5 < x_4 < 3$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 3$.

Объединяя результаты из двух случаев, получаем два решения.

Ответ: $\frac{3+\sqrt{13}}{2}; \frac{11-\sqrt{29}}{2}$.

б) $(3|x+1|+\frac{1}{3})^2=6(x+1)^2+\frac{10}{9}$

Заметим, что $(x+1)^2 = |x+1|^2$. Это позволяет переписать уравнение, используя только $|x+1|$:

$(3|x+1|+\frac{1}{3})^2=6|x+1|^2+\frac{10}{9}$

Для упрощения введем замену переменной. Пусть $y = |x+1|$. Так как модуль любого числа является неотрицательной величиной, то $y \ge 0$.

Уравнение с новой переменной:

$(3y+\frac{1}{3})^2=6y^2+\frac{10}{9}$

Раскроем скобки в левой части и приведем подобные слагаемые:

$9y^2+2 \cdot 3y \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 = 6y^2+\frac{10}{9}$

$9y^2+2y+\frac{1}{9} = 6y^2+\frac{10}{9}$

$9y^2-6y^2+2y+\frac{1}{9}-\frac{10}{9}=0$

$3y^2+2y-1=0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$D = 2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4+12=16=4^2$

$y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$

Получаем два корня для $y$:

$y_1 = \frac{-2+4}{6} = \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-2-4}{6} = \frac{-6}{6}=-1$

Согласно условию $y \ge 0$, корень $y_2=-1$ является посторонним. Используем единственный подходящий корень $y_1=\frac{1}{3}$.

Выполним обратную замену:

$|x+1|=\frac{1}{3}$

Это уравнение распадается на два:

1) $x+1 = \frac{1}{3} \implies x = \frac{1}{3}-1 = -\frac{2}{3}$

2) $x+1 = -\frac{1}{3} \implies x = -\frac{1}{3}-1 = -\frac{4}{3}$

Оба найденных значения являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $-\frac{4}{3}; -\frac{2}{3}$.