Номер 12, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (3) При каких значениях параметра $a$ точка $x=13$ является критической для функции $y=ax^2 - 52x + 777$? При каждом из найденных значений $a$ выясните, точкой максимума или точкой минимума является $x=13$ для данной функции.

При каких значениях параметра a точка x=13 является критической для функции y=ax²−52x+777?

Критические точки функции — это внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. Данная функция $y(x) = ax^2 - 52x + 777$ является многочленом, поэтому она дифференцируема на всей числовой оси. Следовательно, для нахождения критических точек необходимо найти, при каких значениях x производная обращается в ноль.

Найдем первую производную функции $y(x)$ по переменной x:
$y'(x) = (ax^2 - 52x + 777)' = 2ax - 52$.

По условию, точка $x=13$ является критической. Это означает, что производная в этой точке должна быть равна нулю:
$y'(13) = 0$.

Подставим $x=13$ в выражение для производной и решим полученное уравнение относительно параметра a:
$2a \cdot 13 - 52 = 0$
$26a - 52 = 0$
$26a = 52$
$a = \frac{52}{26}$
$a = 2$.

Ответ: Точка $x=13$ является критической при $a=2$.

При каждом из найденных значений a выясните, точкой максимума или точкой минимума является x=13 для данной функции.

Мы нашли единственное значение $a=2$. Чтобы определить, является ли критическая точка $x=13$ точкой максимума или минимума, воспользуемся достаточным условием экстремума, основанным на знаке второй производной.

Найдем вторую производную функции $y(x)$:
$y''(x) = (y'(x))' = (2ax - 52)' = 2a$.

Теперь подставим найденное значение $a=2$ в выражение для второй производной:
$y''(x) = 2 \cdot 2 = 4$.

Значение второй производной в любой точке, включая $x=13$, постоянно и равно 4. Так как $y''(13) = 4 > 0$, то в точке $x=13$ функция достигает локального минимума.

Ответ: При $a=2$ точка $x=13$ является точкой минимума.