Номер 16, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (2) а) Дан квадратный трехчлен $y=-3x^2+4x+1$. Найдите точку экстремума и значение трехчлена в точке экстремума.

б) Используя достаточный признак экстремума, докажите следующее утверждение: «Если $a<0$, то квадратный трехчлен $y=ax^2+bx+c$ принимает свое наибольшее значение в точке $x_0=-\frac{b}{2a}$. Наибольшее значение квадратного трехчлена равно $y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}$».

а) Для нахождения точки экстремума квадратного трехчлена $y = -3x^2 + 4x + 1$ нужно найти точку, в которой его производная равна нулю. Это необходимое условие экстремума.

Найдем первую производную функции $y(x)$ по переменной $x$:

$y'(x) = (-3x^2 + 4x + 1)' = -3 \cdot (x^2)' + 4 \cdot (x)' + (1)' = -3 \cdot 2x + 4 \cdot 1 + 0 = -6x + 4$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти координату точки экстремума $x_0$:

$-6x_0 + 4 = 0$

$6x_0 = 4$

$x_0 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Это точка экстремума. Чтобы определить, является ли она точкой максимума или минимума, найдем вторую производную:

$y''(x) = (-6x + 4)' = -6$.

Поскольку вторая производная $y'' = -6 < 0$, точка $x_0 = \frac{2}{3}$ является точкой максимума. Это и есть экстремум функции.

Теперь найдем значение трехчлена в этой точке (значение экстремума), подставив $x_0 = \frac{2}{3}$ в исходное уравнение:

$y_0 = y(\frac{2}{3}) = -3(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) + 1 = -3(\frac{4}{9}) + \frac{8}{3} + 1 = -\frac{12}{9} + \frac{8}{3} + 1 = -\frac{4}{3} + \frac{8}{3} + \frac{3}{3} = \frac{-4+8+3}{3} = \frac{7}{3}$.

Ответ: Точка экстремума $x_0 = \frac{2}{3}$, значение трехчлена в точке экстремума $y_0 = \frac{7}{3}$.

б) Чтобы доказать утверждение для квадратного трехчлена $y(x) = ax^2 + bx + c$ при условии $a < 0$, воспользуемся достаточным признаком экстремума на основе производных.

1. Найдем стационарную точку функции. Для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю:

$y'(x) = (ax^2 + bx + c)' = 2ax + b$.

Решим уравнение $y'(x_0) = 0$:

$2ax_0 + b = 0 \implies 2ax_0 = -b \implies x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Это единственная стационарная точка функции.

2. Проверим знак второй производной в этой точке, чтобы определить тип экстремума. Это и есть достаточный признак.

$y''(x) = (2ax + b)' = 2a$.

По условию задачи, коэффициент $a < 0$. Следовательно, вторая производная $y''(x) = 2a$ также будет отрицательной ($y'' < 0$) для любого значения $x$, включая $x_0$.

Согласно достаточному признаку экстремума, если в стационарной точке $x_0$ вторая производная функции отрицательна, то эта точка является точкой локального максимума. Для параболы, которой является график квадратного трехчлена, локальный экстремум является единственным и, следовательно, глобальным. Таким образом, в точке $x_0 = -\frac{b}{2a}$ функция достигает своего наибольшего значения.

3. Найдем это наибольшее значение $y_0$, подставив координату $x_0$ в исходное выражение для $y$:

$y_0 = y(x_0) = a(x_0)^2 + b(x_0) + c = a(-\frac{b}{2a})^2 + b(-\frac{b}{2a}) + c$.

Упростим выражение:

$y_0 = a(\frac{b^2}{4a^2}) - \frac{b^2}{2a} + c = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c$.

Приведем дроби к общему знаменателю $4a$:

$y_0 = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a}$.

Таким образом, мы доказали, что при $a < 0$ квадратный трехчлен $y=ax^2+bx+c$ принимает свое наибольшее значение в точке $x_0 = -\frac{b}{2a}$, и это значение равно $y_0 = \frac{4ac-b^2}{4a}$.

Ответ: Утверждение доказано.