Номер 20, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

20. (3) Найдите точки локальных экстремумов для следующих функций:

а) $f(x) = \cos x$;

б) $g(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}x - \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$;

В) $g(x) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) - 2x.$

а) $f(x) = \cos x$

Для нахождения точек локальных экстремумов необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю и исследовать знак производной в окрестности найденных точек (или использовать вторую производную).

1. Находим первую производную функции:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$-\sin x = 0 \implies \sin x = 0$.

Корнями этого уравнения являются $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Для определения типа экстремума используем вторую производную:

$f''(x) = (-\sin x)' = -\cos x$.

Подставляем критические точки в $f''(x)$:

$f''(k\pi) = -\cos(k\pi)$.

Если $k$ — четное число ($k=2n$, $n \in \mathbb{Z}$), то $x=2n\pi$. $f''(2n\pi) = -\cos(2n\pi) = -1 < 0$. Следовательно, в этих точках находятся локальные максимумы.

Если $k$ — нечетное число ($k=2n+1$, $n \in \mathbb{Z}$), то $x=(2n+1)\pi$. $f''((2n+1)\pi) = -\cos((2n+1)\pi) = -(-1) = 1 > 0$. Следовательно, в этих точках находятся локальные минимумы.

Ответ: точки локального максимума $x = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$; точки локального минимума $x = \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

б) $g(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}x - \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$

1. Находим первую производную функции:

$g'(x) = (\frac{\sqrt{3}}{4}x)' - (\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}))' = \frac{\sqrt{3}}{4} - \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) \cdot (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})' = \frac{\sqrt{3}}{4} - \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) \cdot (-\frac{1}{2})$.

$g'(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$.

2. Находим критические точки из уравнения $g'(x) = 0$:

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = 0 \implies \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Отсюда $\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \implies -\frac{x}{2} = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi \implies x = -\frac{7\pi}{6} - 4k\pi$.

Случай 2: $\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \implies -\frac{x}{2} = -\frac{13\pi}{12} + 2k\pi \implies x = \frac{13\pi}{6} - 4k\pi$.

3. Находим вторую производную:

$g''(x) = (\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}))' = \frac{1}{2}(-\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$.

В точках из случая 1: $\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, поэтому $g''(x) = \frac{1}{4}\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} > 0$. Это точки локального минимума.

В точках из случая 2: $\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, поэтому $g''(x) = \frac{1}{4}\sin(-\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8} < 0$. Это точки локального максимума.

Ответ: точки локального максимума $x = \frac{13\pi}{6} + 4k\pi, k \in \mathbb{Z}$; точки локального минимума $x = -\frac{7\pi}{6} + 4k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

в) $g(x) = \cos(2x - \frac{\pi}{3}) + \cos(2x + \frac{\pi}{6}) - 2x$

1. Упростим функцию, используя формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos(2x + \frac{\pi}{6}) + \cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{4x - \pi/6}{2})\cos(\frac{\pi/2}{2}) = 2\cos(2x - \frac{\pi}{12})\cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\cos(2x - \frac{\pi}{12})$.

Функция принимает вид: $g(x) = \sqrt{2}\cos(2x - \frac{\pi}{12}) - 2x$.

2. Находим первую производную:

$g'(x) = (\sqrt{2}\cos(2x - \frac{\pi}{12}) - 2x)' = \sqrt{2}(-\sin(2x - \frac{\pi}{12})) \cdot 2 - 2 = -2\sqrt{2}\sin(2x - \frac{\pi}{12}) - 2$.

3. Находим критические точки из уравнения $g'(x) = 0$:

$-2\sqrt{2}\sin(2x - \frac{\pi}{12}) - 2 = 0 \implies \sin(2x - \frac{\pi}{12}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Отсюда получаем две серии решений:

Случай 1: $2x - \frac{\pi}{12} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{12} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $2x - \frac{\pi}{12} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \implies 2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{2\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

4. Находим вторую производную:

$g''(x) = (-2\sqrt{2}\sin(2x - \frac{\pi}{12}) - 2)' = -4\sqrt{2}\cos(2x - \frac{\pi}{12})$.

В точках из случая 1: $2x - \frac{\pi}{12} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi$. Тогда $g''(x) = -4\sqrt{2}\cos(-\frac{\pi}{4}) = -4\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -4 < 0$. Это точки локального максимума.

В точках из случая 2: $2x - \frac{\pi}{12} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$. Тогда $g''(x) = -4\sqrt{2}\cos(\frac{5\pi}{4}) = -4\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 > 0$. Это точки локального минимума.

Ответ: точки локального максимума $x = -\frac{\pi}{12} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$; точки локального минимума $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.