Номер 17, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17. (1) Для каждой из следующих функций определите критические точки. Из всех найденных критических точек выделите точки экстремума. В каждой из точек экстремума найдите значение функции:

a) $f(x)=-x^3-5x^2-3x+1;$

б) $f(x)=-10x^3-5x^2-3x+1;$

в) $f(x)=-x^3-5x^2-\frac{25}{3}x+1.$

а) $f(x) = -x^3 - 5x^2 - 3x + 1$

1. Для нахождения критических точек необходимо найти производную функции. Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для многочлена производная существует всегда.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 - 5x^2 - 3x + 1) = -3x^2 - 10x - 3$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки (которые являются критическими):

$-3x^2 - 10x - 3 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$3x^2 + 10x + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 8}{6}$.

Получаем две критические точки:

$x_1 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

$x_2 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

3. Теперь определим, являются ли эти критические точки точками экстремума. Для этого используем вторую производную:

$f''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 - 10x - 3) = -6x - 10$.

Подставим значения критических точек в $f''(x)$:

Для $x = -3$: $f''(-3) = -6(-3) - 10 = 18 - 10 = 8$. Поскольку $f''(-3) > 0$, в точке $x = -3$ находится локальный минимум.

Для $x = -1/3$: $f''(-1/3) = -6(-\frac{1}{3}) - 10 = 2 - 10 = -8$. Поскольку $f''(-1/3) < 0$, в точке $x = -1/3$ находится локальный максимум.

Таким образом, обе критические точки являются точками экстремума.

4. Найдем значения функции в этих точках экстремума:

Значение в точке минимума $x = -3$:

$f(-3) = -(-3)^3 - 5(-3)^2 - 3(-3) + 1 = 27 - 5(9) + 9 + 1 = 27 - 45 + 10 = -8$.

Значение в точке максимума $x = -1/3$:

$f(-1/3) = -(-\frac{1}{3})^3 - 5(-\frac{1}{3})^2 - 3(-\frac{1}{3}) + 1 = \frac{1}{27} - 5(\frac{1}{9}) + 1 + 1 = \frac{1}{27} - \frac{15}{27} + \frac{54}{27} = \frac{40}{27}$.

Ответ: Критические точки: $x=-3$ и $x=-1/3$. Точка минимума $x=-3$, значение функции в этой точке $f(-3)=-8$. Точка максимума $x=-1/3$, значение функции в этой точке $f(-1/3)=\frac{40}{27}$.

б) $f(x) = -10x^3 - 5x^2 - 3x + 1$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(-10x^3 - 5x^2 - 3x + 1) = -30x^2 - 10x - 3$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$-30x^2 - 10x - 3 = 0$

$30x^2 + 10x + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 30 \cdot 3 = 100 - 360 = -260$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение $f'(x) = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что у функции нет стационарных точек.

3. Так как производная $f'(x) = -30x^2 - 10x - 3$ определена для всех $x$ и нигде не равна нулю, у функции нет критических точек, а следовательно, и нет точек экстремума.

Ответ: Критических точек и точек экстремума нет.

в) $f(x) = -x^3 - 5x^2 - \frac{25}{3}x + 1$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 - 5x^2 - \frac{25}{3}x + 1) = -3x^2 - 10x - \frac{25}{3}$.

2. Приравняем производную к нулю:

$-3x^2 - 10x - \frac{25}{3} = 0$

Умножим уравнение на -3, чтобы избавиться от дроби и знака минус:

$9x^2 + 30x + 25 = 0$

Это уравнение является полным квадратом, так как $9x^2 = (3x)^2$, $25 = 5^2$ и $30x = 2 \cdot (3x) \cdot 5$.

$(3x + 5)^2 = 0$

Решая это уравнение, получаем одну критическую точку:

$3x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{3}$.

3. Определим, является ли $x = -5/3$ точкой экстремума. Проанализируем знак производной $f'(x) = -3x^2 - 10x - \frac{25}{3} = -\frac{1}{3}(9x^2 + 30x + 25) = -\frac{1}{3}(3x+5)^2$.

Выражение $(3x+5)^2$ всегда неотрицательно (равно нулю только при $x = -5/3$ и положительно в остальных случаях). Из-за множителя $-1/3$ производная $f'(x)$ всегда неположительна ($f'(x) \leq 0$).

Поскольку производная не меняет знак при переходе через точку $x = -5/3$ (она отрицательна как слева, так и справа от этой точки), точка $x = -5/3$ не является точкой экстремума. Это точка перегиба.

Ответ: Критическая точка: $x=-5/3$. Точек экстремума нет.