Номер 14, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. (1) На рисунке 5 изображен график функции $y=f(x)$, $D(f):[-7;7]$.

Рис. 5

а) Укажите все критические точки функции $f(x)$.

б) Укажите точки локальных экстремумов функции $f(x)$.

в) Решите неравенство $f'(x) > 0$, $f'(x) \ge 0$, $f'(x) < 0$, $f'(x) \le 0$.

а) Укажите все критические точки функции f(x).

Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. Область определения функции, указанная в условии, это $D(f) = [-7; 7]$, следовательно, мы ищем критические точки на интервале $(-7; 7)$.

По графику видно, что функция $f(x)$ является гладкой (дифференцируемой) на всем интервале $(-7; 7)$, поэтому точек, где производная $f'(x)$ не существует, нет. Критическими точками будут только те точки, в которых производная равна нулю ($f'(x) = 0$). Геометрически это означает, что касательная к графику функции в этих точках горизонтальна.

На графике мы можем определить следующие точки, где касательная горизонтальна:
– Точки локальных минимумов: $x = -5, x = -1, x = 4$.
– Точки локальных максимумов: $x = -3, x = 1, x = 6$.
– Точка перегиба, в которой касательная горизонтальна (это особо отмечено на рисунке пунктирной линией): $x = 2$.

Таким образом, все эти точки являются критическими.

Ответ: -5; -3; -1; 1; 2; 4; 6.

б) Укажите точки локальных экстремумов функции f(x).

Точки локальных экстремумов – это точки, в которых функция достигает своего локального (местного) максимума или минимума. В этих точках происходит смена характера монотонности функции (с возрастания на убывание или наоборот).

Анализируя график, находим:
– Точки локального максимума (соответствуют "вершинам" на графике, где возрастание сменяется убыванием): $x = -3, x = 1, x = 6$.
– Точки локального минимума (соответствуют "впадинам" на графике, где убывание сменяется возрастанием): $x = -5, x = -1, x = 4$.

Точка $x=2$ не является точкой экстремума. Несмотря на то, что производная в этой точке равна нулю, функция убывает как до, так и после этой точки. Это точка перегиба.

Ответ: Точки локального максимума: -3; 1; 6. Точки локального минимума: -5; -1; 4.

в) Решите неравенство f'(x) > 0, f'(x) ≥ 0, f'(x) < 0, f'(x) ≤ 0.

Знак производной функции $f'(x)$ напрямую связан с поведением самой функции $f(x)$:
– если $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ строго возрастает;
– если $f'(x) < 0$, функция $f(x)$ строго убывает.
Решим каждое неравенство, анализируя график функции на области определения $[-7; 7]$.

Решение для $f'(x) > 0$:
Неравенство выполняется на интервалах, где функция $f(x)$ строго возрастает.
По графику это интервалы $(-5, -3)$, $(-1, 1)$ и $(4, 6)$.

Решение для $f'(x) \ge 0$:
Неравенство выполняется на промежутках, где функция $f(x)$ не убывает (т.е. возрастает или имеет горизонтальную касательную). Для этого к интервалам строгого возрастания нужно добавить точки, где $f'(x)=0$.
Получаем отрезки $[-5, -3]$, $[-1, 1]$ и $[4, 6]$. Также необходимо учесть изолированную точку $x=2$, где $f'(2)=0$, которая тоже удовлетворяет неравенству.

Решение для $f'(x) < 0$:
Неравенство выполняется на интервалах, где функция $f(x)$ строго убывает.
По графику это интервалы $(-7, -5)$, $(-3, -1)$, а также $(1, 4)$ и $(6, 7)$. Однако в точке $x=2$ производная равна нулю, поэтому эту точку нужно исключить. Таким образом, получаем объединение интервалов: $(-7, -5) \cup (-3, -1) \cup (1, 2) \cup (2, 4) \cup (6, 7)$.

Решение для $f'(x) \le 0$:
Неравенство выполняется на промежутках, где функция $f(x)$ не возрастает (т.е. убывает или имеет горизонтальную касательную). Для этого к интервалам строгого убывания нужно добавить точки, где $f'(x)=0$.
Получаем отрезки $[-7, -5]$, $[-3, -1]$, $[1, 4]$ (этот отрезок включает точку $x=2$, где $f'(2)=0$) и $[6, 7]$.

Ответ:
$f'(x) > 0$ при $x \in (-5, -3) \cup (-1, 1) \cup (4, 6)$.
$f'(x) \ge 0$ при $x \in [-5, -3] \cup [-1, 1] \cup [4, 6] \cup \{2\}$.
$f'(x) < 0$ при $x \in (-7, -5) \cup (-3, -1) \cup (1, 2) \cup (2, 4) \cup (6, 7)$.
$f'(x) \le 0$ при $x \in [-7, -5] \cup [-3, -1] \cup [1, 4] \cup [6, 7]$.