Страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

8. (2) Найдите точки локальных экстремумов и значения экстремумов для следующих функций:

a) $f(x) = x + \frac{1}{x}$

б) $g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$

в) $h(x) = \frac{(x-2)(8-x)}{x^2}$

г) $u(x) = \left(\frac{2x-1}{x}\right)^2$

а) Для функции $f(x) = x + \frac{1}{x}$.
1. Находим область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.
3. Находим критические точки. Для этого приравниваем производную к нулю и находим точки, в которых она не существует.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 1}{x^2} = 0$.
$x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$.
Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.
Критические точки: $x=-1$ и $x=1$.
4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки и точки разрыва делят область определения: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -1)$: $f'(-2) = \frac{(-2)^2 - 1}{(-2)^2} = \frac{3}{4} > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-1; 0)$: $f'(-0.5) = \frac{(-0.5)^2 - 1}{(-0.5)^2} = \frac{-0.75}{0.25} < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; 1)$: $f'(0.5) = \frac{(0.5)^2 - 1}{(0.5)^2} = \frac{-0.75}{0.25} < 0$, функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$: $f'(2) = \frac{2^2 - 1}{2^2} = \frac{3}{4} > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x=-1$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума. В точке $x=1$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума.
6. Находим значения экстремумов:
$f_{max} = f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2$.
$f_{min} = f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$.
Ответ: Точка локального максимума $x=-1$, значение максимума $f(-1)=-2$. Точка локального минимума $x=1$, значение минимума $f(1)=2$.

б) Для функции $g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$.
1. Область определения функции: $D(g) = (-\infty; +\infty)$, так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ для всех $x$.
2. Находим производную функции по правилу дифференцирования частного:
$g'(x) = \frac{(x)'(x^2 + 1) - x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$.
3. Находим критические точки: $g'(x) = 0$.
$\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0 \Rightarrow 1 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$.
Производная существует на всей области определения.
4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -1)$: $g'(-2) = \frac{1 - (-2)^2}{(...)^2} < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1; 1)$: $g'(0) = \frac{1 - 0^2}{(...)^2} > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(1; +\infty)$: $g'(2) = \frac{1 - 2^2}{(...)^2} < 0$, функция убывает.
5. В точке $x=-1$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка локального минимума. В точке $x=1$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка локального максимума.
6. Находим значения экстремумов:
$g_{min} = g(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -\frac{1}{2}$.
$g_{max} = g(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: Точка локального минимума $x=-1$, значение минимума $g(-1)=-1/2$. Точка локального максимума $x=1$, значение максимума $g(1)=1/2$.

в) Для функции $h(x) = \frac{(x-2)(8-x)}{x^2}$.
1. Упростим выражение: $h(x) = \frac{8x - x^2 - 16 + 2x}{x^2} = \frac{-x^2 + 10x - 16}{x^2} = -1 + \frac{10}{x} - \frac{16}{x^2}$.
2. Область определения: $x \neq 0$, то есть $D(h) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Находим производную:
$h'(x) = (-1 + 10x^{-1} - 16x^{-2})' = -10x^{-2} + 32x^{-3} = -\frac{10}{x^2} + \frac{32}{x^3} = \frac{32 - 10x}{x^3}$.
4. Находим критические точки: $h'(x) = 0$.
$\frac{32 - 10x}{x^3} = 0 \Rightarrow 32 - 10x = 0 \Rightarrow 10x = 32 \Rightarrow x = 3.2$.
Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения.
5. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; 0)$, $(0; 3.2)$, $(3.2; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$: $h'(-1) = \frac{32-10(-1)}{(-1)^3} = \frac{42}{-1} < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; 3.2)$: $h'(1) = \frac{32-10(1)}{1^3} = 22 > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(3.2; +\infty)$: $h'(4) = \frac{32-10(4)}{4^3} = \frac{-8}{64} < 0$, функция убывает.
6. В точке $x=3.2$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка локального максимума.
7. Находим значение максимума:
$h_{max} = h(3.2) = \frac{- (3.2)^2 + 10(3.2) - 16}{(3.2)^2} = \frac{-10.24 + 32 - 16}{10.24} = \frac{5.76}{10.24} = \frac{576}{1024} = \frac{9}{16}$.
Ответ: Точка локального максимума $x=3.2$, значение максимума $h(3.2)=9/16$. Локальных минимумов нет.

г) Для функции $u(x) = \left(\frac{2x-1}{x}\right)^2$.
1. Упростим выражение: $u(x) = \left(2 - \frac{1}{x}\right)^2$.
2. Область определения: $x \neq 0$, то есть $D(u) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Находим производную по правилу дифференцирования сложной функции:
$u'(x) = 2\left(2 - \frac{1}{x}\right) \cdot \left(2 - \frac{1}{x}\right)' = 2\left(\frac{2x-1}{x}\right) \cdot \left(\frac{1}{x^2}\right) = \frac{2(2x-1)}{x^3}$.
4. Находим критические точки: $u'(x) = 0$.
$\frac{2(2x-1)}{x^3} = 0 \Rightarrow 2(2x-1) = 0 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x = 0.5$.
Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения.
5. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; 0)$, $(0; 0.5)$, $(0.5; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$: $u'(-1) = \frac{2(2(-1)-1)}{(-1)^3} = \frac{-6}{-1} > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(0; 0.5)$: $u'(0.1) = \frac{2(2(0.1)-1)}{(0.1)^3} = \frac{2(-0.8)}{0.001} < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0.5; +\infty)$: $u'(1) = \frac{2(2(1)-1)}{1^3} = 2 > 0$, функция возрастает.
6. В точке $x=0.5$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка локального минимума.
7. Находим значение минимума:
$u_{min} = u(0.5) = \left(\frac{2(0.5)-1}{0.5}\right)^2 = \left(\frac{1-1}{0.5}\right)^2 = 0^2 = 0$.
Ответ: Точка локального минимума $x=0.5$, значение минимума $u(0.5)=0$. Локальных максимумов нет.

9. (1) а) Найдите точки локальных экстремумов и значения экстремумов

для функции $g(x)=-\frac{1}{4}x+\sqrt{4-x}$.

(2) б) Даны положительные числа $a$ и $b$. Найдите точки локальных экстремумов и значения экстремумов для функции $g(x)=ax+\sqrt{b-x}$.

а)

Дана функция $g(x) = \frac{1}{4}x + \sqrt{4-x}$.

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $4-x \ge 0$, откуда $x \le 4$. Таким образом, область определения функции $D(g) = (-\infty, 4]$.

2. Найдем производную функции $g(x)$:$g'(x) = (\frac{1}{4}x + \sqrt{4-x})' = \frac{1}{4} - \frac{1}{2\sqrt{4-x}}$.Производная определена для всех $x < 4$.

3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю: $g'(x) = 0$.$\frac{1}{4} - \frac{1}{2\sqrt{4-x}} = 0$$\frac{1}{4} = \frac{1}{2\sqrt{4-x}}$$2\sqrt{4-x} = 4$$\sqrt{4-x} = 2$Возведя обе части в квадрат, получаем $4-x=4$, откуда $x=0$. Эта точка принадлежит области определения.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые точка $x=0$ делит область определения: $(-\infty, 0)$ и $(0, 4)$.- На интервале $(-\infty, 0)$ производная $g'(x) > 0$ (например, для $x=-5$, $g'(-5) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12} > 0$), следовательно, функция возрастает.- На интервале $(0, 4)$ производная $g'(x) < 0$ (например, для $x=3$, $g'(3) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} < 0$), следовательно, функция убывает.Так как в точке $x=0$ производная меняет знак с плюса на минус, эта точка является точкой локального максимума.

5. Значение функции в точке локального максимума:$g(0) = \frac{1}{4}(0) + \sqrt{4-0} = 2$.

6. Рассмотрим граничную точку области определения $x=4$. В этой точке производная не определена. Поскольку функция убывает на интервале $(0, 4)$, при приближении к $x=4$ слева значения функции уменьшаются, следовательно, точка $x=4$ является точкой локального минимума.Значение функции в точке локального минимума:$g(4) = \frac{1}{4}(4) + \sqrt{4-4} = 1$.

Ответ: точка локального максимума $x=0$, значение максимума $g_{max}=2$; точка локального минимума $x=4$, значение минимума $g_{min}=1$.

б)

Дана функция $g(x) = ax + \sqrt{b-x}$ и положительные числа $a$ и $b$.

1. Область определения функции находится из условия $b-x \ge 0$, что дает $x \le b$. Итак, $D(g) = (-\infty, b]$.

2. Найдем производную функции:$g'(x) = (ax + \sqrt{b-x})' = a - \frac{1}{2\sqrt{b-x}}$.Производная определена при $x < b$.

3. Найдем стационарные точки из уравнения $g'(x) = 0$:$a - \frac{1}{2\sqrt{b-x}} = 0 \implies a = \frac{1}{2\sqrt{b-x}}$.Так как $a>0$, можем выразить $x$:$\sqrt{b-x} = \frac{1}{2a}$$b-x = \frac{1}{4a^2}$$x = b - \frac{1}{4a^2}$.Обозначим эту точку $x_0 = b - \frac{1}{4a^2}$. Поскольку $a>0$, то $\frac{1}{4a^2}>0$, значит $x_0 < b$. Эта точка является внутренней точкой области определения.

4. Исследуем знак производной.- Если $x < x_0$, то $b-x > b-x_0 = \frac{1}{4a^2}$. Отсюда $\sqrt{b-x} > \frac{1}{2a}$, и $a > \frac{1}{2\sqrt{b-x}}$, поэтому $g'(x) > 0$. Функция возрастает.- Если $x_0 < x < b$, то $b-x < b-x_0 = \frac{1}{4a^2}$. Отсюда $\sqrt{b-x} < \frac{1}{2a}$, и $a < \frac{1}{2\sqrt{b-x}}$, поэтому $g'(x) < 0$. Функция убывает.В точке $x_0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.

5. Найдем значение локального максимума:$g(x_0) = g(b - \frac{1}{4a^2}) = a(b - \frac{1}{4a^2}) + \sqrt{b - (b - \frac{1}{4a^2})} = ab - \frac{1}{4a} + \sqrt{\frac{1}{4a^2}} = ab - \frac{1}{4a} + \frac{1}{2a} = ab + \frac{1}{4a}$.

6. На границе области определения в точке $x=b$ производная не определена. Так как функция убывает на интервале $(x_0, b)$, точка $x=b$ является точкой локального минимума.Найдем значение локального минимума:$g(b) = ab + \sqrt{b-b} = ab$.

Ответ: точка локального максимума $x=b-\frac{1}{4a^2}$, значение максимума $g_{max}=ab+\frac{1}{4a}$; точка локального минимума $x=b$, значение минимума $g_{min}=ab$.

10. (1)
Функция $f(x)=-3x^2+10x-3$ является производной от некоторой функции $F(x)$. Определите точки локальных экстремумов функции $F(x)$.

10. (1)

По условию, функция $f(x) = -3x^2 + 10x - 3$ является производной от некоторой функции $F(x)$. Это означает, что $F'(x) = f(x)$.

Для нахождения точек локальных экстремумов функции $F(x)$ необходимо найти ее критические точки. Критические точки — это точки, в которых производная $F'(x)$ равна нулю или не существует. Так как $F'(x) = -3x^2 + 10x - 3$ является многочленом, она определена для всех действительных чисел $x$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю, решив уравнение $F'(x) = 0$:

$f(x) = -3x^2 + 10x - 3 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы сделать коэффициент при $x^2$ положительным:

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Таким образом, мы нашли две критические точки функции $F(x)$: $x = \frac{1}{3}$ и $x = 3$.

Теперь определим, являются ли эти точки точками максимума или минимума. Для этого исследуем знак производной $F'(x) = f(x)$ на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Функция $f(x) = -3x^2 + 10x - 3$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-3 < 0$). Следовательно, функция $f(x)$ положительна между корнями и отрицательна вне этого интервала.

- На интервале $(-\infty; \frac{1}{3})$ производная $F'(x) = f(x)$ отрицательна, значит, функция $F(x)$ убывает.
- На интервале $(\frac{1}{3}; 3)$ производная $F'(x) = f(x)$ положительна, значит, функция $F(x)$ возрастает.
- На интервале $(3; +\infty)$ производная $F'(x) = f(x)$ отрицательна, значит, функция $F(x)$ снова убывает.

Проанализируем смену знака производной в критических точках:
- В точке $x = \frac{1}{3}$ производная меняет знак с минуса на плюс (убывание сменяется возрастанием), следовательно, это точка локального минимума функции $F(x)$.
- В точке $x = 3$ производная меняет знак с плюса на минус (возрастание сменяется убыванием), следовательно, это точка локального максимума функции $F(x)$.

Ответ: Точка локального минимума функции $F(x)$ — $x = \frac{1}{3}$, точка локального максимума — $x = 3$.

11. (3) Найдите критические точки функций:

a) $f(x) = -\sin x + 14\cos x - 12x - 18;$

б) $g(x) = \sin 4x - 2\sin 2x + 2\cos 2x - \cos 4\pi.$

а) $f(x) = -\sin x + 14\cos x - 12x - 18$

Критические точки – это внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как все слагаемые (синус, косинус, линейная функция) определены для любого действительного числа $x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-\sin x + 14\cos x - 12x - 18)' = (-\sin x)' + (14\cos x)' - (12x)' - (18)' = -\cos x - 14\sin x - 12$.

Производная $f'(x)$ существует для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, критические точки – это точки, в которых $f'(x) = 0$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$-\cos x - 14\sin x - 12 = 0$

$\cos x + 14\sin x = -12$

Для решения этого уравнения воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Пусть $t = \tan(x/2)$. Тогда $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ и $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$. Эта подстановка не определена для $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, поэтому эти точки нужно проверить отдельно, подставив в исходное уравнение.

Проверка: если $x = \pi$, то $\cos(\pi) + 14\sin(\pi) = -1 + 14 \cdot 0 = -1$. Так как $-1 \ne -12$, то $x = \pi + 2\pi k$ не являются решениями.

Подставим выражения для синуса и косинуса в уравнение:

$\frac{1-t^2}{1+t^2} + 14\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) = -12$

Умножим обе части на $1+t^2$ (которое не равно нулю):

$1 - t^2 + 28t = -12(1+t^2)$

$1 - t^2 + 28t = -12 - 12t^2$

$11t^2 + 28t + 13 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 11 \cdot 13 = 784 - 572 = 212$.

Корни уравнения для $t$:

$t_{1,2} = \frac{-28 \pm \sqrt{212}}{2 \cdot 11} = \frac{-28 \pm 2\sqrt{53}}{22} = \frac{-14 \pm \sqrt{53}}{11}$.

Таким образом, мы имеем два значения для $t$:

$t_1 = \frac{-14 + \sqrt{53}}{11}$ и $t_2 = \frac{-14 - \sqrt{53}}{11}$.

Теперь сделаем обратную замену $t = \tan(x/2)$, чтобы найти $x$:

1) $\tan(x/2) = \frac{-14 + \sqrt{53}}{11} \Rightarrow x/2 = \arctan\left(\frac{-14 + \sqrt{53}}{11}\right) + \pi k \Rightarrow x = 2\arctan\left(\frac{-14 + \sqrt{53}}{11}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan(x/2) = \frac{-14 - \sqrt{53}}{11} \Rightarrow x/2 = \arctan\left(\frac{-14 - \sqrt{53}}{11}\right) + \pi k \Rightarrow x = 2\arctan\left(\frac{-14 - \sqrt{53}}{11}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\arctan\left(\frac{-14 + \sqrt{53}}{11}\right) + 2\pi k$ и $x = 2\arctan\left(\frac{-14 - \sqrt{53}}{11}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $g(x) = \sin 4x - 2\sin 2x + 2\cos 2x - \cos 4\pi$

Сначала упростим выражение для функции. Так как $\cos(4\pi) = 1$, то:

$g(x) = \sin 4x - 2\sin 2x + 2\cos 2x - 1$.

Область определения функции $D(g) = (-\infty; +\infty)$, так как все ее компоненты определены на всей числовой оси.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (\sin 4x - 2\sin 2x + 2\cos 2x - 1)' = 4\cos 4x - 2(2\cos 2x) + 2(-2\sin 2x) - 0 = 4\cos 4x - 4\cos 2x - 4\sin 2x$.

Производная $g'(x)$ существует для всех $x \in \mathbb{R}$. Критические точки – это точки, в которых $g'(x) = 0$.

Решим уравнение $g'(x) = 0$:

$4\cos 4x - 4\cos 2x - 4\sin 2x = 0$

Разделим обе части на 4:

$\cos 4x - \cos 2x - \sin 2x = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = \cos^2 2x - \sin^2 2x$:

$\cos^2 2x - \sin^2 2x - (\cos 2x + \sin 2x) = 0$

Разложим разность квадратов $\cos^2 2x - \sin^2 2x = (\cos 2x - \sin 2x)(\cos 2x + \sin 2x)$:

$(\cos 2x - \sin 2x)(\cos 2x + \sin 2x) - (\cos 2x + \sin 2x) = 0$

Вынесем общий множитель $(\cos 2x + \sin 2x)$ за скобки:

$(\cos 2x + \sin 2x)(\cos 2x - \sin 2x - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\cos 2x + \sin 2x = 0$

2) $\cos 2x - \sin 2x - 1 = 0$

Решим первое уравнение: $\cos 2x + \sin 2x = 0$. Поделим на $\cos 2x$ (он не равен нулю, иначе $\sin 2x$ тоже был бы равен нулю, что невозможно):

$1 + \tan 2x = 0 \Rightarrow \tan 2x = -1$

$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение: $\cos 2x - \sin 2x = 1$.

Воспользуемся методом вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x\right) = 1$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4}$.

$\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos 2x - \sin\frac{\pi}{4}\sin 2x\right) = 1$

По формуле косинуса суммы $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$\sqrt{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = 1$

$\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это уравнение дает две серии решений:

а) $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow 2x = 2\pi k \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные серии решений, получаем полный набор критических точек.

Ответ: $x = \pi k$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$; $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

12. (3) При каких значениях параметра $a$ точка $x=13$ является критической для функции $y=ax^2 - 52x + 777$? При каждом из найденных значений $a$ выясните, точкой максимума или точкой минимума является $x=13$ для данной функции.

При каких значениях параметра a точка x=13 является критической для функции y=ax²−52x+777?

Критические точки функции — это внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. Данная функция $y(x) = ax^2 - 52x + 777$ является многочленом, поэтому она дифференцируема на всей числовой оси. Следовательно, для нахождения критических точек необходимо найти, при каких значениях x производная обращается в ноль.

Найдем первую производную функции $y(x)$ по переменной x:
$y'(x) = (ax^2 - 52x + 777)' = 2ax - 52$.

По условию, точка $x=13$ является критической. Это означает, что производная в этой точке должна быть равна нулю:
$y'(13) = 0$.

Подставим $x=13$ в выражение для производной и решим полученное уравнение относительно параметра a:
$2a \cdot 13 - 52 = 0$
$26a - 52 = 0$
$26a = 52$
$a = \frac{52}{26}$
$a = 2$.

Ответ: Точка $x=13$ является критической при $a=2$.

При каждом из найденных значений a выясните, точкой максимума или точкой минимума является x=13 для данной функции.

Мы нашли единственное значение $a=2$. Чтобы определить, является ли критическая точка $x=13$ точкой максимума или минимума, воспользуемся достаточным условием экстремума, основанным на знаке второй производной.

Найдем вторую производную функции $y(x)$:
$y''(x) = (y'(x))' = (2ax - 52)' = 2a$.

Теперь подставим найденное значение $a=2$ в выражение для второй производной:
$y''(x) = 2 \cdot 2 = 4$.

Значение второй производной в любой точке, включая $x=13$, постоянно и равно 4. Так как $y''(13) = 4 > 0$, то в точке $x=13$ функция достигает локального минимума.

Ответ: При $a=2$ точка $x=13$ является точкой минимума.

13. (3) При каких значениях параметра $p$ точка $x_0 = p$ является точкой минимума функции $f(x)=2x^3-3(p-3)x^2-18px-7$?

Для того чтобы точка $x_0 = p$ была точкой минимума функции $f(x)$, должны выполняться два условия:

1. Необходимое условие экстремума: значение первой производной в этой точке должно быть равно нулю, то есть $f'(x_0) = 0$.

2. Достаточное условие минимума: значение второй производной в этой точке должно быть положительным, то есть $f''(x_0) > 0$.

Найдем первую производную функции $f(x) = 2x^3 - 3(p-3)x^2 - 18px - 7$:

$f'(x) = (2x^3 - 3(p-3)x^2 - 18px - 7)' = 6x^2 - 2 \cdot 3(p-3)x - 18p = 6x^2 - 6(p-3)x - 18p$.

Теперь проверим выполнение первого условия для точки $x_0 = p$:

$f'(p) = 6p^2 - 6(p-3)p - 18p$

$f'(p) = 6p^2 - (6p-18)p - 18p$

$f'(p) = 6p^2 - 6p^2 + 18p - 18p = 0$

Уравнение $0 = 0$ является тождеством. Это означает, что при любом значении параметра $p$ точка $x_0 = p$ является критической (стационарной) точкой функции $f(x)$.

Теперь воспользуемся достаточным условием, чтобы определить, при каких $p$ эта точка будет точкой минимума. Найдем вторую производную:

$f''(x) = (6x^2 - 6(p-3)x - 18p)' = 12x - 6(p-3)$.

Подставим $x_0 = p$ в выражение для второй производной и применим условие минимума $f''(p) > 0$:

$f''(p) = 12p - 6(p-3) > 0$

$12p - 6p + 18 > 0$

$6p + 18 > 0$

$6p > -18$

$p > -3$

Таким образом, точка $x_0 = p$ является точкой минимума функции при всех значениях параметра $p$, удовлетворяющих неравенству $p > -3$.

Ответ: $p > -3$.

14. (1) На рисунке 5 изображен график функции $y=f(x)$, $D(f):[-7;7]$.

Рис. 5

а) Укажите все критические точки функции $f(x)$.

б) Укажите точки локальных экстремумов функции $f(x)$.

в) Решите неравенство $f'(x) > 0$, $f'(x) \ge 0$, $f'(x) < 0$, $f'(x) \le 0$.

а) Укажите все критические точки функции f(x).

Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. Область определения функции, указанная в условии, это $D(f) = [-7; 7]$, следовательно, мы ищем критические точки на интервале $(-7; 7)$.

По графику видно, что функция $f(x)$ является гладкой (дифференцируемой) на всем интервале $(-7; 7)$, поэтому точек, где производная $f'(x)$ не существует, нет. Критическими точками будут только те точки, в которых производная равна нулю ($f'(x) = 0$). Геометрически это означает, что касательная к графику функции в этих точках горизонтальна.

На графике мы можем определить следующие точки, где касательная горизонтальна:
– Точки локальных минимумов: $x = -5, x = -1, x = 4$.
– Точки локальных максимумов: $x = -3, x = 1, x = 6$.
– Точка перегиба, в которой касательная горизонтальна (это особо отмечено на рисунке пунктирной линией): $x = 2$.

Таким образом, все эти точки являются критическими.

Ответ: -5; -3; -1; 1; 2; 4; 6.

б) Укажите точки локальных экстремумов функции f(x).

Точки локальных экстремумов – это точки, в которых функция достигает своего локального (местного) максимума или минимума. В этих точках происходит смена характера монотонности функции (с возрастания на убывание или наоборот).

Анализируя график, находим:
– Точки локального максимума (соответствуют "вершинам" на графике, где возрастание сменяется убыванием): $x = -3, x = 1, x = 6$.
– Точки локального минимума (соответствуют "впадинам" на графике, где убывание сменяется возрастанием): $x = -5, x = -1, x = 4$.

Точка $x=2$ не является точкой экстремума. Несмотря на то, что производная в этой точке равна нулю, функция убывает как до, так и после этой точки. Это точка перегиба.

Ответ: Точки локального максимума: -3; 1; 6. Точки локального минимума: -5; -1; 4.

в) Решите неравенство f'(x) > 0, f'(x) ≥ 0, f'(x) < 0, f'(x) ≤ 0.

Знак производной функции $f'(x)$ напрямую связан с поведением самой функции $f(x)$:
– если $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ строго возрастает;
– если $f'(x) < 0$, функция $f(x)$ строго убывает.
Решим каждое неравенство, анализируя график функции на области определения $[-7; 7]$.

Решение для $f'(x) > 0$:
Неравенство выполняется на интервалах, где функция $f(x)$ строго возрастает.
По графику это интервалы $(-5, -3)$, $(-1, 1)$ и $(4, 6)$.

Решение для $f'(x) \ge 0$:
Неравенство выполняется на промежутках, где функция $f(x)$ не убывает (т.е. возрастает или имеет горизонтальную касательную). Для этого к интервалам строгого возрастания нужно добавить точки, где $f'(x)=0$.
Получаем отрезки $[-5, -3]$, $[-1, 1]$ и $[4, 6]$. Также необходимо учесть изолированную точку $x=2$, где $f'(2)=0$, которая тоже удовлетворяет неравенству.

Решение для $f'(x) < 0$:
Неравенство выполняется на интервалах, где функция $f(x)$ строго убывает.
По графику это интервалы $(-7, -5)$, $(-3, -1)$, а также $(1, 4)$ и $(6, 7)$. Однако в точке $x=2$ производная равна нулю, поэтому эту точку нужно исключить. Таким образом, получаем объединение интервалов: $(-7, -5) \cup (-3, -1) \cup (1, 2) \cup (2, 4) \cup (6, 7)$.

Решение для $f'(x) \le 0$:
Неравенство выполняется на промежутках, где функция $f(x)$ не возрастает (т.е. убывает или имеет горизонтальную касательную). Для этого к интервалам строгого убывания нужно добавить точки, где $f'(x)=0$.
Получаем отрезки $[-7, -5]$, $[-3, -1]$, $[1, 4]$ (этот отрезок включает точку $x=2$, где $f'(2)=0$) и $[6, 7]$.

Ответ:
$f'(x) > 0$ при $x \in (-5, -3) \cup (-1, 1) \cup (4, 6)$.
$f'(x) \ge 0$ при $x \in [-5, -3] \cup [-1, 1] \cup [4, 6] \cup \{2\}$.
$f'(x) < 0$ при $x \in (-7, -5) \cup (-3, -1) \cup (1, 2) \cup (2, 4) \cup (6, 7)$.
$f'(x) \le 0$ при $x \in [-7, -5] \cup [-3, -1] \cup [1, 4] \cup [6, 7]$.