Страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

16. (1) Постройте графики функций:

а) $y=\operatorname{tg} x$;

б) $y=|\operatorname{tg} x|$;

в) $y=|\operatorname{tg}(x+\frac{\pi}{4})|$;

г) $y=|\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}-x)|$.

а) $y = \text{tg } x$

График функции $y = \text{tg } x$ называется тангенсоидой. Для его построения проанализируем свойства функции:

1. Область определения: все действительные числа $x$, кроме тех, где $\cos x = 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются вертикальными асимптотами графика.

2. Область значений: все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$.

3. Периодичность: функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. Это значит, что для построения всего графика достаточно построить его на любом промежутке длиной $\pi$, например, на $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, а затем сдвигать полученную ветвь вдоль оси $Ox$ на $\pi k$.

4. Нули функции: $y = 0$ при $\text{tg } x = 0$, что выполняется при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Возрастание: функция строго возрастает на каждом интервале своей области определения.

Построение:

- Начертим оси координат и отметим вертикальные асимптоты, например, $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

- Найдем несколько контрольных точек на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$:

- при $x = -\frac{\pi}{4}$, $y = \text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$;

- при $x = 0$, $y = \text{tg}(0) = 0$;

- при $x = \frac{\pi}{4}$, $y = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

- Соединим эти точки плавной кривой, которая стремится к асимптотам при приближении $x$ к $-\frac{\pi}{2}$ (справа) и к $\frac{\pi}{2}$ (слева).

- Используя периодичность, повторим эту ветвь на других интервалах.

Ответ: График функции $y=\text{tg } x$ (тангенсоида) — это бесконечная последовательность одинаковых возрастающих кривых (ветвей), каждая из которых расположена между двумя вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $x = \frac{\pi}{2} + \pi (k+1)$.

б) $y = |\text{tg } x|$

График функции $y = |\text{tg } x|$ строится на основе графика $y = \text{tg } x$ с помощью преобразования $y = |f(x)|$. Это преобразование заключается в следующем:

1. Часть графика функции $y = f(x)$, которая находится выше или на оси абсцисс ($y \ge 0$), остается без изменений.

2. Часть графика, которая находится ниже оси абсцисс ($y < 0$), симметрично отражается относительно оси абсцисс.

Построение:

- Сначала строим график $y = \text{tg } x$ (как в пункте а).

- Ветви тангенсоиды на интервалах, где $\text{tg } x \ge 0$ (например, на $[0, \frac{\pi}{2})$), оставляем без изменений.

- Ветви тангенсоиды на интервалах, где $\text{tg } x < 0$ (например, на $(-\frac{\pi}{2}, 0)$), отражаем симметрично относительно оси $Ox$.

В результате все части графика оказываются в верхней полуплоскости.

Ответ: График функции $y=|\text{tg } x|$ состоит из ветвей, расположенных в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Вертикальные асимптоты остаются теми же: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Нули функции (точки касания с осью $Ox$) находятся в точках $x = \pi k$. Период функции равен $\pi$.

в) $y = |\text{tg}(x + \frac{\pi}{4})|$

График этой функции можно получить из графика $y = |\text{tg } x|$ (построенного в пункте б)) с помощью геометрического преобразования — сдвига.

Правило преобразования: график функции $y = f(x+a)$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси $Ox$ на $a$ единиц влево, если $a > 0$.

В нашем случае $f(x) = |\text{tg } x|$ и $a = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, мы должны сдвинуть график $y = |\text{tg } x|$ влево на $\frac{\pi}{4}$.

Построение:

- Берем за основу график $y = |\text{tg } x|$.

- Сдвигаем все его точки влево на $\frac{\pi}{4}$. При этом сдвигаются и все ключевые элементы графика:

- Асимптоты: исходные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ смещаются и становятся $x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi k$.

- Нули: исходные нули $x = \pi k$ смещаются и становятся $x = \pi k - \frac{\pi}{4}$.

Ответ: График функции $y=|\text{tg}(x + \frac{\pi}{4})|$ — это график функции $y=|\text{tg } x|$, сдвинутый вдоль оси абсцисс влево на $\frac{\pi}{4}$. Его вертикальные асимптоты — прямые $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, а точки касания с осью $Ox$ — $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = |\text{tg}(\frac{\pi}{4} - x)|$

Для построения этого графика сначала упростим выражение под знаком модуля, используя свойства тригонометрических функций.

1. Тангенс — нечетная функция, то есть $\text{tg}(-z) = -\text{tg}(z)$. Поэтому:

$\text{tg}(\frac{\pi}{4} - x) = \text{tg}(- (x - \frac{\pi}{4})) = -\text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$

2. Модуль числа не зависит от его знака, то есть $|-a| = |a|$. Поэтому:

$y = |\text{tg}(\frac{\pi}{4} - x)| = |-\text{tg}(x - \frac{\pi}{4})| = |\text{tg}(x - \frac{\pi}{4})|$

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = |\text{tg}(x - \frac{\pi}{4})|$.

Этот график получается из графика $y = |\text{tg } x|$ (из пункта б)) сдвигом. Правило преобразования: график функции $y = f(x-a)$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси $Ox$ на $a$ единиц вправо, если $a > 0$.

В нашем случае $f(x) = |\text{tg } x|$ и $a = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, мы должны сдвинуть график $y = |\text{tg } x|$ вправо на $\frac{\pi}{4}$.

Построение:

- Берем за основу график $y = |\text{tg } x|$.

- Сдвигаем все его точки вправо на $\frac{\pi}{4}$:

- Асимптоты: $x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

- Нули: $x = \pi k + \frac{\pi}{4}$.

Ответ: График функции $y=|\text{tg}(\frac{\pi}{4} - x)|$ совпадает с графиком функции $y=|\text{tg}(x - \frac{\pi}{4})|$ и представляет собой график $y=|\text{tg } x|$, сдвинутый вдоль оси абсцисс вправо на $\frac{\pi}{4}$. Его вертикальные асимптоты — прямые $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, а точки касания с осью $Ox$ — $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

17.(2)

Постройте график функции $y = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x$.

Для построения графика функции $y = \tg x \cdot \ctg x$ необходимо последовательно выполнить следующие шаги: найти область определения функции, упростить ее выражение и на основе этого построить график.

1. Нахождение области определения функции (ОДЗ)

Функция $y = \tg x \cdot \ctg x$ определена только в том случае, когда определены оба множителя: $ \tg x $ и $ \ctg x $.

Функция $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $ определена при условии, что ее знаменатель не равен нулю, то есть $ \cos x \neq 0 $. Это выполняется для всех $ x $, кроме $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, $ где $ n \in \mathbb{Z} $.

Функция $ \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} $ определена при условии, что ее знаменатель не равен нулю, то есть $ \sin x \neq 0 $. Это выполняется для всех $ x $, кроме $ x = \pi k, $ где $ k \in \mathbb{Z} $.

Таким образом, область определения исходной функции — это все значения $x$, для которых одновременно $ \cos x \neq 0 $ и $ \sin x \neq 0 $. Объединив эти ограничения, получим, что $x$ не может принимать значения вида $ x = \frac{\pi m}{2} $, где $ m $ — любое целое число ($ m \in \mathbb{Z} $).

2. Упрощение функции

На всей найденной области определения справедливо основное тригонометрическое тождество: $ \tg x \cdot \ctg x = 1 $.Следовательно, для всех допустимых значений $x$ функция принимает постоянное значение: $ y = 1 $.

3. Построение графика

Исходя из упрощения, графиком функции является прямая $ y=1 $. Это горизонтальная линия, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через точку $(0, 1)$.

Однако, из-за ограничений на область определения, на этой прямой должны быть исключены точки, абсциссы которых не входят в ОДЗ. Эти точки, называемые "выколотыми", соответствуют значениям $ x = \frac{\pi m}{2} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Таким образом, график функции — это прямая $ y=1 $ с бесконечным множеством выколотых точек, расположенных с шагом $ \frac{\pi}{2} $ вдоль оси $x$. Координаты этих точек: $ (\frac{\pi m}{2}; 1) $, где $ m \in \mathbb{Z} $. Например, это точки с координатами $(\dots, (-\pi; 1), (-\frac{\pi}{2}; 1), (0; 1), (\frac{\pi}{2}; 1), (\pi; 1), \dots)$.

Ответ: Графиком функции $ y = \tg x \cdot \ctg x $ является прямая $ y=1 $ с выколотыми точками вида $ (\frac{\pi m}{2}; 1) $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

18. (3) Среди следующих функций определите периодические и укажите их главный период:

а) $f_0(x)=\cos \frac{2\pi}{7}\sin 57x+\sin \frac{2\pi}{7}\cos 57x$, $f_1(x)=\cos^2 \frac{2}{3}x+\sin^2 \frac{2}{3}x$,

$f_2(x)=\left(\cos \frac{2}{3}x+\sin \frac{2}{3}x\right)^2$, $f_3(x)=x^2|\sin x|$;

б) $g_0(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(\sqrt{7}x-\frac{\pi}{7}\right)$, $g_1(x)=\cos^2 \frac{\pi}{5}x-\sin^2 \frac{\pi}{5}x$, $g_2(x)=x^3-\cos^4 x$,

$g_3(x)=\cos^4 x$;

в) $h_0(x)=\frac{1}{2-\text{ctg }3\pi x}$; $h_1(x)=\frac{x}{2-\text{ctg }3\pi x}$, $h_2(x)=1+\text{ctg}^2 x$.

а)

Рассмотрим функцию $f_0(x) = \cos\frac{2\pi}{7}\sin57x + \sin\frac{2\pi}{7}\cos57x$. Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$. Полагая $\alpha=57x$ и $\beta=\frac{2\pi}{7}$, получим: $f_0(x)=\sin(57x+\frac{2\pi}{7})$. Это гармоническая функция, ее главный период вычисляется по формуле $T=\frac{2\pi}{|k|}$. Здесь коэффициент $k=57$, следовательно, главный период $T_0 = \frac{2\pi}{57}$. Функция периодическая.

Рассмотрим функцию $f_1(x) = \cos\frac{2}{3}x + \sin\frac{2}{3}x$. Это сумма двух функций: $\cos\frac{2}{3}x$ и $\sin\frac{2}{3}x$. Обе функции имеют одинаковый главный период $T = \frac{2\pi}{|2/3|} = 3\pi$. Преобразуем выражение: $f_1(x) = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{2}{3}x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{2}{3}x) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{2}{3}x + \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{2}{3}x) = \sqrt{2}\cos(\frac{2}{3}x - \frac{\pi}{4})$. Это гармоническая функция с коэффициентом $k=2/3$, ее главный период $T_1 = \frac{2\pi}{|2/3|} = 3\pi$. Функция периодическая.

Рассмотрим функцию $f_2(x) = (\cos\frac{2}{3}x + \sin\frac{2}{3}x)^2$. Раскроем скобки: $f_2(x) = \cos^2\frac{2}{3}x + 2\cos\frac{2}{3}x\sin\frac{2}{3}x + \sin^2\frac{2}{3}x$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем: $f_2(x) = 1 + \sin(2 \cdot \frac{2}{3}x) = 1 + \sin(\frac{4}{3}x)$. Это гармоническая функция, сдвинутая по оси ординат. Ее период определяется слагаемым $\sin(\frac{4}{3}x)$. Главный период $T_2 = \frac{2\pi}{|4/3|} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$. Функция периодическая.

Рассмотрим функцию $f_3(x) = x^2|\sin x|$. Функция $|\sin x|$ является периодической с главным периодом $\pi$. Однако множитель $x^2$ не является периодической функцией. Предположим, что функция $f_3(x)$ периодическая с периодом $T>0$. Тогда должно выполняться равенство $f_3(x+T) = f_3(x)$ для всех $x$, то есть $(x+T)^2|\sin(x+T)| = x^2|\sin x|$. Если выбрать $T=k\pi$ для целого $k\neq0$, то $|\sin(x+k\pi)|=|\sin x|$. Тогда равенство примет вид $(x+k\pi)^2|\sin x| = x^2|\sin x|$. Для $x$, где $|\sin x|\neq0$, получаем $(x+k\pi)^2=x^2$, что неверно для всех $x$. Следовательно, функция $f_3(x)$ не является периодической.

Ответ: периодические функции: $f_0(x)$ с главным периодом $T_0=\frac{2\pi}{57}$, $f_1(x)$ с главным периодом $T_1=3\pi$, $f_2(x)$ с главным периодом $T_2=\frac{3\pi}{2}$; функция $f_3(x)$ не является периодической.

б)

Рассмотрим функцию $g_0(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\sqrt{7}x - \frac{\pi}{7})$. Это гармоническая функция вида $y=A\cos(kx+\phi)$. Ее главный период равен $T=\frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=\sqrt{7}$, следовательно, главный период $T_0 = \frac{2\pi}{\sqrt{7}}$. Функция периодическая.

Рассмотрим функцию $g_1(x) = \cos^2\frac{\pi}{5}x - \sin^2\frac{\pi}{5}x$. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Полагая $\alpha=\frac{\pi}{5}x$, получим $g_1(x) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{5}x) = \cos(\frac{2\pi}{5}x)$. Это гармоническая функция с коэффициентом $k=\frac{2\pi}{5}$. Ее главный период $T_1 = \frac{2\pi}{|2\pi/5|} = 5$. Функция периодическая.

Рассмотрим функцию $g_2(x) = x^3 - \cos^4x$. Эта функция является разностью непериодической функции $y_1=x^3$ и периодической функции $y_2=\cos^4x$ (период $\cos^4x$ равен $\pi$). Сумма или разность периодической и непериодической функции является непериодической функцией. Предположим, что $g_2(x)$ периодична с периодом $T>0$. Тогда $g_2(x+T) = g_2(x)$. Возьмем $T=k\pi$ для целого $k\neq0$. Тогда $\cos^4(x+k\pi)=\cos^4x$, и равенство примет вид $(x+k\pi)^3-\cos^4x = x^3-\cos^4x$, откуда $(x+k\pi)^3=x^3$, что неверно для всех $x$. Следовательно, функция $g_2(x)$ не является периодической.

Рассмотрим функцию $g_3(x) = \cos^4x$. Так как $\cos(x+\pi)=-\cos x$, то $g_3(x+\pi) = \cos^4(x+\pi) = (-\cos x)^4 = \cos^4x = g_3(x)$. Таким образом, $\pi$ является периодом. Можно показать, что это главный период, используя формулы понижения степени: $\cos^4x = (\frac{1+\cos(2x)}{2})^2 = \frac{1+2\cos(2x)+\cos^2(2x)}{4} = \frac{1+2\cos(2x)+\frac{1+\cos(4x)}{2}}{4} = \frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x)$. Периоды слагаемых: $T_1=\frac{2\pi}{2}=\pi$ и $T_2=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$. Главный период суммы равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых: $T_3=\text{НОК}(\pi, \frac{\pi}{2})=\pi$. Функция периодическая.

Ответ: периодические функции: $g_0(x)$ с главным периодом $T_0=\frac{2\pi}{\sqrt{7}}$, $g_1(x)$ с главным периодом $T_1=5$, $g_3(x)$ с главным периодом $T_3=\pi$; функция $g_2(x)$ не является периодической.

в)

Рассмотрим функцию $h_0(x) = \frac{1}{2-\text{ctg}(3\pi x)}$. Периодичность функции определяется периодичностью функции $\text{ctg}(3\pi x)$. Главный период функции $\text{ctg}(y)$ равен $\pi$. Для функции $\text{ctg}(kx)$ главный период равен $T=\frac{\pi}{|k|}$. Здесь $k=3\pi$, поэтому главный период $T_0 = \frac{\pi}{|3\pi|} = \frac{1}{3}$. Функция периодическая.

Рассмотрим функцию $h_1(x) = \frac{x}{2-\text{ctg}(3\pi x)}$. Эта функция является частным от деления непериодической функции $y_1=x$ на периодическую функцию $y_2=2-\text{ctg}(3\pi x)$ (с периодом $1/3$). Предположим, что $h_1(x)$ периодична с периодом $T>0$. Тогда $h_1(x+T)=h_1(x)$. Возьмем $T=k/3$ для целого $k\neq0$. Тогда $\text{ctg}(3\pi(x+k/3)) = \text{ctg}(3\pi x+k\pi)=\text{ctg}(3\pi x)$, и равенство примет вид $\frac{x+k/3}{2-\text{ctg}(3\pi x)} = \frac{x}{2-\text{ctg}(3\pi x)}$. Отсюда $x+k/3=x$, что неверно, так как $k\neq0$. Следовательно, функция $h_1(x)$ не является периодической.

Рассмотрим функцию $h_2(x) = 1 + \text{ctg}^2x$. Период функции $\text{ctg} x$ равен $\pi$. Так как $\text{ctg}(x+\pi)=\text{ctg} x$, то $h_2(x+\pi) = 1+\text{ctg}^2(x+\pi) = 1+(\text{ctg} x)^2 = h_2(x)$. Период $\pi$ является главным, так как для $T=\pi/2$, $h_2(x+\pi/2) = 1+\text{ctg}^2(x+\pi/2) = 1+(-\text{tg} x)^2 = 1+\text{tg}^2x \neq h_2(x)$ в общем случае. Также можно использовать тождество $1+\text{ctg}^2x = \frac{1}{\sin^2x}$. Главный период функции $\sin^2x$ равен $\pi$, следовательно, главный период функции $h_2(x)$ также равен $\pi$. Функция периодическая.

Ответ: периодические функции: $h_0(x)$ с главным периодом $T_0=\frac{1}{3}$, $h_2(x)$ с главным периодом $T_2=\pi$; функция $h_1(x)$ не является периодической.

19. Для следующих функций определите один из периодов, по возможно-сти, наименьший:

a)(2) $f(x)=\sin x+\sin 2x$; 6)(2) $g(x)=\sin \frac{2}{3}x-\cos 3x$;

в)(3) $h(x)=\operatorname{tg}1.5x \cdot \cos 2x$.

а) $f(x)=\sin x+\sin 2x$
Данная функция представляет собой сумму двух периодических функций: $f_1(x)=\sin x$ и $f_2(x)=\sin 2x$.
Наименьший положительный период (основной период) для функции вида $y=\sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Для слагаемого $f_1(x)=\sin x$ коэффициент $k=1$, следовательно, его период $T_1 = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.
Для слагаемого $f_2(x)=\sin 2x$ коэффициент $k=2$, следовательно, его период $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Наименьший положительный период суммы двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.
Таким образом, искомый период $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(2\pi, \pi)$.
Чтобы найти НОК, мы ищем наименьшее положительное число $T$, которое одновременно является кратным $T_1$ и $T_2$. Это означает, что существуют натуральные числа $n_1$ и $n_2$ такие, что $T = n_1 T_1 = n_2 T_2$.
$n_1 \cdot 2\pi = n_2 \cdot \pi$.
Разделив обе части на $\pi$, получаем: $2n_1 = n_2$.
Наименьшие натуральные числа, удовлетворяющие этому равенству, — это $n_1=1$ и $n_2=2$.
Подставляя $n_1=1$ в выражение для $T$, получаем: $T = 1 \cdot 2\pi = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$

б) $g(x)=\sin\frac{2}{3}x-\cos 3x$
Данная функция является разностью двух периодических функций: $g_1(x)=\sin\frac{2}{3}x$ и $g_2(x)=\cos 3x$.
Основной период для функций $y=\sin(kx)$ и $y=\cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Для функции $g_1(x)=\sin\frac{2}{3}x$ коэффициент $k=\frac{2}{3}$, её период $T_1 = \frac{2\pi}{|2/3|} = 3\pi$.
Для функции $g_2(x)=\cos 3x$ коэффициент $k=3$, её период $T_2 = \frac{2\pi}{3}$.
Наименьший положительный период разности функций равен НОК их периодов.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(3\pi, \frac{2\pi}{3})$.
Ищем наименьшее положительное число $T$ и натуральные числа $n_1, n_2$, для которых выполняется равенство: $T = n_1 T_1 = n_2 T_2$.
$n_1 \cdot 3\pi = n_2 \cdot \frac{2\pi}{3}$.
Разделим на $\pi$: $3n_1 = \frac{2n_2}{3}$, что эквивалентно $9n_1 = 2n_2$.
Так как числа 9 и 2 взаимно простые, наименьшими натуральными числами, удовлетворяющими этому уравнению, являются $n_1=2$ и $n_2=9$.
Теперь находим период $T$: $T = n_1 \cdot T_1 = 2 \cdot 3\pi = 6\pi$.
(Проверка через $T_2$: $T = n_2 \cdot T_2 = 9 \cdot \frac{2\pi}{3} = 6\pi$).
Ответ: $6\pi$

в) $h(x)=\mathrm{tg}\,1,5x \cdot \cos 2x$
Перепишем функцию как $h(x)=\tan(\frac{3}{2}x) \cdot \cos 2x$. Она является произведением двух периодических функций: $h_1(x)=\tan(\frac{3}{2}x)$ и $h_2(x)=\cos 2x$.
Основной период для функции вида $y=\tan(kx)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.
Для функции $h_1(x)=\tan(\frac{3}{2}x)$ коэффициент $k=\frac{3}{2}$, её период $T_1 = \frac{\pi}{|3/2|} = \frac{2\pi}{3}$.
Основной период для функции $y=\cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Для функции $h_2(x)=\cos 2x$ коэффициент $k=2$, её период $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Период произведения функций, как правило, равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{2\pi}{3}, \pi)$.
Ищем наименьшее положительное число $T$ и натуральные числа $n_1, n_2$, для которых $T = n_1 T_1 = n_2 T_2$.
$n_1 \cdot \frac{2\pi}{3} = n_2 \cdot \pi$.
Разделим на $\pi$: $\frac{2n_1}{3} = n_2$.
Наименьшими натуральными числами, удовлетворяющими этому равенству, являются $n_1=3$ и $n_2=2$.
Находим период $T$: $T = n_1 \cdot T_1 = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi$.
(Проверка через $T_2$: $T = n_2 \cdot T_2 = 2 \cdot \pi = 2\pi$).
Ответ: $2\pi$

20. (2) Каждую из следующих функций исследуйте на четность:

а) $f_1(x)=\text{ctg}\frac{1}{2}x$, $f_2(x)=1+\text{ctg}^3 x$, $f_3(x)=x^{55}\text{ctg}3x$, $f_4(x)=\frac{|x^3|}{\text{ctg}37x}$;

б) $g_1(x)=\sin x+\cos x$, $g_2(x)=(\sin x-\cos x)^2-1$, $g_3(x)=\sin(12x-\pi)$, $g_4(x)=\text{tg}(-4x)+2015x^{2015}$.

Для исследования функции $f(x)$ на четность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно точки $x=0$.

2. Должно выполняться одно из равенств:

- $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения — в этом случае функция является четной.

- $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения — в этом случае функция является нечетной.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной.

Для функции $f_1(x) = \text{ctg} \frac{1}{2}x$. Область определения $D(f_1)$: $\frac{1}{2}x \neq \pi k$, то есть $x \neq 2\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно нуля. Найдем $f_1(-x)$: $f_1(-x) = \text{ctg}(\frac{1}{2}(-x)) = \text{ctg}(-\frac{x}{2})$. Поскольку котангенс — нечетная функция ($\text{ctg}(-u) = -\text{ctg}(u)$), то $f_1(-x) = -\text{ctg}(\frac{x}{2}) = -f_1(x)$. Следовательно, функция является нечетной. Ответ: нечетная.

Для функции $f_2(x) = 1 + \text{ctg}^3 x$. Область определения $D(f_2)$: $x \neq \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$, она симметрична относительно нуля. Найдем $f_2(-x)$: $f_2(-x) = 1 + \text{ctg}^3(-x) = 1 + (\text{ctg}(-x))^3 = 1 + (-\text{ctg}x)^3 = 1 - \text{ctg}^3x$. Так как $f_2(-x) \neq f_2(x)$ и $f_2(-x) \neq -f_2(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Ответ: ни четная, ни нечетная.

Для функции $f_3(x) = x^{55} \text{ctg} 3x$. Область определения $D(f_3)$: $3x \neq \pi k$, то есть $x \neq \frac{\pi k}{3}$ для $k \in \mathbb{Z}$, она симметрична. Найдем $f_3(-x)$: $f_3(-x) = (-x)^{55} \text{ctg}(3(-x)) = -x^{55} \text{ctg}(-3x)$. Так как котангенс — нечетная функция, $f_3(-x) = -x^{55} (-\text{ctg}(3x)) = x^{55} \text{ctg}(3x) = f_3(x)$. Следовательно, функция является четной (как произведение двух нечетных функций $y=x^{55}$ и $y=\text{ctg}(3x)$). Ответ: четная.

Для функции $f_4(x) = \frac{|x^3|}{\text{ctg} 37x}$. Область определения $D(f_4)$: $37x \neq \pi k$ и $\text{ctg}(37x) \neq 0$ ($37x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$), область симметрична. Найдем $f_4(-x)$: $f_4(-x) = \frac{|(-x)^3|}{\text{ctg}(37(-x))} = \frac{|-x^3|}{\text{ctg}(-37x)}$. Используя свойства $|-u| = |u|$ и $\text{ctg}(-v) = -\text{ctg}(v)$, получаем $f_4(-x) = \frac{|x^3|}{-\text{ctg}(37x)} = - \frac{|x^3|}{\text{ctg}(37x)} = -f_4(x)$. Следовательно, функция является нечетной. Ответ: нечетная.

Для функции $g_1(x) = \sin x + \cos x$. Область определения $D(g_1) = \mathbb{R}$, она симметрична. Найдем $g_1(-x)$: $g_1(-x) = \sin(-x) + \cos(-x) = -\sin x + \cos x$. Так как $g_1(-x) \neq g_1(x)$ и $g_1(-x) \neq -g_1(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Ответ: ни четная, ни нечетная.

Для функции $g_2(x) = (\sin x - \cos x)^2 - 1$. Область определения $D(g_2) = \mathbb{R}$, она симметрична. Упростим выражение: $g_2(x) = (\sin^2x - 2\sin x \cos x + \cos^2x) - 1 = (1 - 2\sin x \cos x) - 1 = -2\sin x \cos x = -\sin(2x)$. Теперь исследуем функцию $g_2(x) = -\sin(2x)$. Найдем $g_2(-x) = -\sin(2(-x)) = -\sin(-2x) = -(-\sin(2x)) = \sin(2x)$. Так как $-g_2(x) = -(-\sin(2x)) = \sin(2x)$, то $g_2(-x) = -g_2(x)$. Следовательно, функция является нечетной. Ответ: нечетная.

Для функции $g_3(x) = \sin(12x - \pi)$. Область определения $D(g_3) = \mathbb{R}$, она симметрична. Используя формулу приведения $\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\alpha)$, получаем $g_3(x) = -\sin(12x)$. Исследуем эту функцию: $g_3(-x) = -\sin(12(-x)) = -\sin(-12x) = -(-\sin(12x)) = \sin(12x)$. Так как $-g_3(x) = -(-\sin(12x)) = \sin(12x)$, то $g_3(-x) = -g_3(x)$. Следовательно, функция является нечетной. Ответ: нечетная.

Для функции $g_4(x) = \text{tg}(-4x) + 2015x^{2015}$. Область определения $D(g_4)$: $-4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x \neq -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{4}$ для $k \in \mathbb{Z}$, она симметрична. Функция является суммой двух функций: $h_1(x) = \text{tg}(-4x) = -\text{tg}(4x)$ и $h_2(x) = 2015x^{2015}$. Обе функции являются нечетными ($h_1$ как нечетная функция тангенса, $h_2$ как степенная функция с нечетным показателем). Сумма двух нечетных функций есть нечетная функция. Проверим: $g_4(-x) = \text{tg}(-4(-x)) + 2015(-x)^{2015} = \text{tg}(4x) - 2015x^{2015}$. При этом $-g_4(x) = -(-\text{tg}(4x) + 2015x^{2015}) = \text{tg}(4x) - 2015x^{2015}$. Таким образом, $g_4(-x) = -g_4(x)$, и функция нечетная. Ответ: нечетная.

21. a)(2) Дана убывающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, каждое из которых принадлежит отрезку $[-8\pi; -6\pi]$. Что можно сказать о монотонности последовательности $\cos x_1, \cos x_2, \cos x_3, \dots, \cos x_n$?

б)(2) Дана возрастающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, каждое из которых принадлежит отрезку $[80,5\pi; 81\pi]$. Что можно сказать о монотонности последовательности $\sin x_1, \sin x_2, \sin x_3, \dots, \sin x_n$?

в)(2) Дана убывающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, каждое из которых принадлежит отрезку $[80,5\pi; 81\pi]$. Что можно сказать о монотонности последовательности $\operatorname{tg} x_1, \operatorname{tg} x_2, \operatorname{tg} x_3, \dots, \operatorname{tg} x_n$?

а)

По условию, дана убывающая последовательность чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$, то есть $x_1 > x_2 > \dots > x_n$. Все члены этой последовательности принадлежат отрезку $[-8\pi; -6\pi]$.
Нам нужно определить характер монотонности последовательности $y_k = \cos(x_k)$. Для этого исследуем поведение функции $f(x) = \cos(x)$ на отрезке $[-8\pi; -6\pi]$.
Функция $f(x) = \cos(x)$ является периодической с периодом $2\pi$. Поведение функции на отрезке $[-8\pi; -6\pi]$ такое же, как и на отрезке $[0; 2\pi]$, так как $[-8\pi; -6\pi] = [0 - 4 \cdot 2\pi; 2\pi - 4 \cdot 2\pi]$.
Отрезок $[-8\pi; -6\pi]$ можно разбить на два промежутка монотонности для функции косинуса:

1. На отрезке $[-8\pi; -7\pi]$ функция $\cos(x)$ убывает (аналогично поведению на $[0; \pi]$).
2. На отрезке $[-7\pi; -6\pi]$ функция $\cos(x)$ возрастает (аналогично поведению на $[\pi; 2\pi]$).

Поскольку функция $\cos(x)$ не является монотонной на всем отрезке $[-8\pi; -6\pi]$, характер монотонности последовательности $\cos(x_n)$ будет зависеть от расположения членов последовательности $x_n$ относительно точки $x = -7\pi$.

Возможны следующие случаи:

- Если все члены последовательности $x_n$ принадлежат отрезку $[-8\pi; -7\pi]$, то, поскольку $x_n$ убывает, а $\cos(x)$ на этом отрезке также убывает, последовательность $\cos(x_n)$ будет возрастающей (убывающая функция от убывающей последовательности).
- Если все члены последовательности $x_n$ принадлежат отрезку $[-7\pi; -6\pi]$, то, поскольку $x_n$ убывает, а $\cos(x)$ на этом отрезке возрастает, последовательность $\cos(x_n)$ будет убывающей (возрастающая функция от убывающей последовательности).
- Если последовательность $x_n$ "пересекает" точку $-7\pi$ (то есть существуют такие $x_i$ и $x_j$, что $x_i > -7\pi$ и $x_j < -7\pi$), то последовательность $\cos(x_n)$ не будет монотонной. Например, для последовательности $x_1 = -6.5\pi, x_2 = -7\pi, x_3 = -7.5\pi$ имеем $\cos(x_1) = 0$, $\cos(x_2) = -1$, $\cos(x_3) = 0$. Последовательность $0, -1, 0$ не является монотонной.

Таким образом, в общем случае нельзя однозначно определить монотонность последовательности.

Ответ: Последовательность в общем случае не является монотонной. Она может быть возрастающей, убывающей или немонотонной в зависимости от расположения членов последовательности $x_n$ относительно точки $-7\pi$.

б)

По условию, дана возрастающая последовательность чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$, то есть $x_1 < x_2 < \dots < x_n$. Все члены этой последовательности принадлежат отрезку $[80,5\pi; 81\pi]$.
Нам нужно определить характер монотонности последовательности $y_k = \sin(x_k)$. Для этого исследуем поведение функции $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[80,5\pi; 81\pi]$.
Функция $f(x) = \sin(x)$ является периодической с периодом $2\pi$. Преобразуем границы отрезка:
$80,5\pi = 80\pi + 0,5\pi = 40 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}$
$81\pi = 80\pi + \pi = 40 \cdot 2\pi + \pi$
Следовательно, поведение функции $\sin(x)$ на отрезке $[80,5\pi; 81\pi]$ такое же, как и на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.
На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ функция $\sin(x)$ является убывающей (ее значения изменяются от $\sin(\frac{\pi}{2})=1$ до $\sin(\pi)=0$). Производная $(\sin x)' = \cos x$ на этом интервале отрицательна.
Таким образом, функция $\sin(x)$ убывает на всем отрезке $[80,5\pi; 81\pi]$.
Поскольку последовательность $x_n$ возрастает, а функция $\sin(x)$ на области значений $x_n$ убывает, то результирующая последовательность $\sin(x_n)$ будет убывающей. Если $x_k < x_{k+1}$ и $f$ — убывающая функция, то $f(x_k) > f(x_{k+1})$.

Ответ: Последовательность является убывающей.

в)

По условию, дана убывающая последовательность чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$, то есть $x_1 > x_2 > \dots > x_n$. Все члены этой последовательности принадлежат отрезку $[80,5\pi; 81\pi]$.
Нам нужно определить характер монотонности последовательности $y_k = \tan(x_k)$.
Функция $f(x) = \tan(x)$ не определена в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число. Левая граница данного отрезка, $x = 80,5\pi = \frac{\pi}{2} + 80\pi$, является одной из таких точек. Поэтому, чтобы последовательность $\tan(x_n)$ была определена для всех ее членов, необходимо, чтобы $x_n \neq 80,5\pi$ для всех $n$. Будем исходить из этого предположения, то есть все $x_n \in (80,5\pi; 81\pi]$.
Исследуем поведение функции $f(x) = \tan(x)$ на интервале $(80,5\pi; 81\pi]$.
Функция $\tan(x)$ имеет период $\pi$. Поведение функции на $(80,5\pi; 81\pi]$ такое же, как на интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi]$, так как $80,5\pi = 80\pi + 0,5\pi$ и $81\pi = 80\pi + \pi$.
Производная функции $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$. Так как $\cos^2 x > 0$ на любом интервале, где тангенс определен, производная всегда положительна. Это означает, что функция $\tan(x)$ является строго возрастающей на каждом интервале своей непрерывности, в том числе и на $(80,5\pi; 81\pi]$.
Поскольку последовательность $x_n$ убывает, а функция $\tan(x)$ на области значений $x_n$ возрастает, то результирующая последовательность $\tan(x_n)$ будет убывающей. Если $x_k > x_{k+1}$ и $f$ — возрастающая функция, то $f(x_k) > f(x_{k+1})$.

Ответ: При условии, что все члены последовательности $x_n$ отличны от $80,5\pi$ (то есть $\tan(x_n)$ определен для всех $n$), последовательность является убывающей.