Страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

5. (3) Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках:

а) $f(x) = \frac{x^4}{x+2}$, $x \in [-0.5;0]$;

б) $g(x) = \frac{x-1}{3x-x^2-3}-1$, $x \in [-1;3]$.

а)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{x^4}{x+2}$ на отрезке $[-0.5, 0]$, воспользуемся стандартным алгоритмом.

1. Находим производную функции. Функция является частным двух функций, поэтому используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$f'(x) = \frac{(x^4)'(x+2) - x^4(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{4x^3(x+2) - x^4 \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{4x^4 + 8x^3 - x^4}{(x+2)^2} = \frac{3x^4 + 8x^3}{(x+2)^2}$

2. Находим критические точки функции, приравнивая производную к нулю.

$f'(x) = 0 \implies \frac{3x^4 + 8x^3}{(x+2)^2} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$3x^4 + 8x^3 = 0 \implies x^3(3x+8) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{8}{3}$.

3. Проверяем, принадлежат ли критические точки заданному отрезку $[-0.5, 0]$.

Точка $x_1 = 0$ является правым концом отрезка.

Точка $x_2 = -\frac{8}{3} \approx -2.67$ не принадлежит отрезку $[-0.5, 0]$.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка, так как внутри отрезка нет критических точек.

При $x = -0.5$:

$f(-0.5) = \frac{(-0.5)^4}{-0.5 + 2} = \frac{(-\frac{1}{2})^4}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$

При $x = 0$:

$f(0) = \frac{0^4}{0+2} = \frac{0}{2} = 0$

5. Сравниваем полученные значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее.

Сравнивая $f(-0.5) = \frac{1}{24}$ и $f(0) = 0$, заключаем, что наибольшее значение функции равно $\frac{1}{24}$, а наименьшее равно $0$.

Ответ: наибольшее значение функции $f_{наиб} = \frac{1}{24}$, наименьшее значение функции $f_{наим} = 0$.

б)

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $g(x) = \frac{x-1}{3x-x^2-3} - 1$ на отрезке $[-1, 3]$.

1. Преобразуем функцию для удобства:

$g(x) = \frac{x-1}{-(x^2-3x+3)} - 1 = -\frac{x-1}{x^2-3x+3} - 1$

Знаменатель $x^2-3x+3$ никогда не равен нулю, так как его дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0$. Следовательно, функция непрерывна на всем отрезке $[-1, 3]$.

2. Находим производную функции $g(x)$.

$g'(x) = \left(-\frac{x-1}{x^2-3x+3} - 1\right)' = -\left(\frac{x-1}{x^2-3x+3}\right)'$

$g'(x) = -\frac{(x-1)'(x^2-3x+3) - (x-1)(x^2-3x+3)'}{(x^2-3x+3)^2}$

$g'(x) = -\frac{1 \cdot (x^2-3x+3) - (x-1)(2x-3)}{(x^2-3x+3)^2} = -\frac{x^2-3x+3 - (2x^2-5x+3)}{(x^2-3x+3)^2}$

$g'(x) = -\frac{-x^2+2x}{(x^2-3x+3)^2} = \frac{x^2-2x}{(x^2-3x+3)^2}$

3. Находим критические точки, решив уравнение $g'(x) = 0$.

$\frac{x^2-2x}{(x^2-3x+3)^2} = 0 \implies x^2-2x=0 \implies x(x-2)=0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Обе точки принадлежат отрезку $[-1, 3]$.

4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка: $x=-1, x=0, x=2, x=3$.

$g(-1) = -\frac{-1-1}{(-1)^2-3(-1)+3} - 1 = -\frac{-2}{1+3+3} - 1 = \frac{2}{7} - 1 = -\frac{5}{7}$

$g(0) = -\frac{0-1}{0^2-3(0)+3} - 1 = -\frac{-1}{3} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$

$g(2) = -\frac{2-1}{2^2-3(2)+3} - 1 = -\frac{1}{4-6+3} - 1 = -\frac{1}{1} - 1 = -2$

$g(3) = -\frac{3-1}{3^2-3(3)+3} - 1 = -\frac{2}{9-9+3} - 1 = -\frac{2}{3} - 1 = -\frac{5}{3}$

5. Сравниваем полученные значения: $-\frac{5}{7} \approx -0.714$; $-\frac{2}{3} \approx -0.667$; $-2$; $-\frac{5}{3} \approx -1.667$.

Наибольшее значение равно $-\frac{2}{3}$, а наименьшее равно $-2$.

Ответ: наибольшее значение функции $g_{наиб} = -\frac{2}{3}$, наименьшее значение функции $g_{наим} = -2$.

6. (1) а) Функция $z(t)=t^2-t$ задана на отрезке $t \in [-1;1]$. При каком значении переменной $t \in [-1;1]$ функция $z(t)$ достигает своего наибольшего значения?

(3) б) Используя результаты пункта а) данной задачи и замену $\sin x=t$, найдите наибольшее значение функции $f(x)=\sin^2 x - \sin x$. При каких значениях переменной $x$ функция $f(x)$ достигает своего наибольшего значения?

а)

Нам дана функция $z(t) = t^2 - t$ на отрезке $t \in [-1; 1]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $t^2$ равен 1, что больше нуля). Наибольшее значение на замкнутом отрезке такая функция достигает на одном из его концов.

Найдем значения функции на концах отрезка $[-1; 1]$:

При $t = -1$ значение функции равно:
$z(-1) = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

При $t = 1$ значение функции равно:
$z(1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Сравнивая значения $z(-1)=2$ и $z(1)=0$, мы видим, что наибольшее значение функция $z(t)$ достигает в точке $t = -1$.

Ответ: Наибольшее значение достигается при $t = -1$.

б)

Нам дана функция $f(x) = \sin^2 x - \sin x$. Чтобы найти ее наибольшее значение, воспользуемся результатами пункта а) и заменой $t = \sin x$.

Область значений функции синуса — это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, переменная $t$ принимает значения из отрезка $t \in [-1; 1]$.

После замены мы получаем функцию $z(t) = t^2 - t$, которая полностью совпадает с функцией из пункта а) на том же отрезке.

Из пункта а) мы знаем, что наибольшее значение функции $z(t)$ на отрезке $[-1; 1]$ равно 2 и достигается оно при $t = -1$.

Следовательно, наибольшее значение функции $f(x)$ также равно 2.

Теперь определим, при каких значениях $x$ функция $f(x)$ достигает этого значения. Это происходит, когда выполнены условия, при которых $z(t)$ максимальна, то есть когда $t = -1$.

Возвращаемся к нашей замене $t = \sin x$ и решаем уравнение:

$\sin x = -1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решениями является серия корней:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (то есть $k$ — любое целое число).

Ответ: Наибольшее значение функции $f(x)$ равно 2; оно достигается при значениях $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

7. (3) Найдите все значения $x$, для каждого из которых функция $f(x)=-2\cos 2x+3\sqrt{3}\cos x-7\sin^2 x$ принимает наименьшее значение.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых функция $f(x) = -2\cos2x + 3\sqrt{3}\cos x - 7\sin^2 x$ принимает наименьшее значение, необходимо преобразовать данное выражение, приведя его к функции от одной тригонометрической переменной. Целесообразно выразить все через $\cos x$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos2x = 2\cos^2 x - 1$ и основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим эти выражения в исходную функцию:

$f(x) = -2(2\cos^2 x - 1) + 3\sqrt{3}\cos x - 7(1 - \cos^2 x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f(x) = -4\cos^2 x + 2 + 3\sqrt{3}\cos x - 7 + 7\cos^2 x$

$f(x) = (-4 + 7)\cos^2 x + 3\sqrt{3}\cos x + (2 - 7)$

$f(x) = 3\cos^2 x + 3\sqrt{3}\cos x - 5$

Теперь задача сводится к нахождению наименьшего значения полученного выражения. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Поскольку область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, то и для переменной $t$ справедливо ограничение $t \in [-1, 1]$.

Мы получили квадратичную функцию от $t$: $g(t) = 3t^2 + 3\sqrt{3}t - 5$. Нам нужно найти ее наименьшее значение на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 3 > 0$. Следовательно, свое наименьшее значение на всей числовой прямой парабола принимает в своей вершине.

Найдем координату вершины параболы по оси абсцисс:

$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь проверим, принадлежит ли найденная точка $t_0$ отрезку $[-1, 1]$.

Значение $\sqrt{3} \approx 1.732$, поэтому $-\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$.

Так как $-1 \le -0.866 \le 1$, то точка $t_0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и ее вершина лежит на рассматриваемом отрезке, наименьшее значение функции $g(t)$ на этом отрезке достигается именно в вершине, то есть при $t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Возвращаемся к исходной переменной $x$. Наименьшее значение функции $f(x)$ будет достигаться при тех значениях $x$, для которых выполняется равенство:

$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение:

$x = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Так как $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$, получаем общее решение:

$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

8. (3) Найдите все значения x, для каждого из которых функция

$f(x)=-\frac{2}{3}\cos^3 x+\frac{3}{2}\sin^2 x+\cos x+1;$

а) принимает наибольшее значение;

б) принимает наименьшее значение.

Для нахождения значений $x$, при которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, преобразуем данную функцию. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, чтобы выразить функцию только через $\cos x$.

$f(x) = -\frac{2}{3}\cos^3 x + \frac{3}{2}(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1$

$f(x) = -\frac{2}{3}\cos^3 x + \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos^2 x + \cos x + 1$

$f(x) = -\frac{2}{3}\cos^3 x - \frac{3}{2}\cos^2 x + \cos x + \frac{5}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Поскольку область значений косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, то $t \in [-1, 1]$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $g(t) = -\frac{2}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 + t + \frac{5}{2}$ на отрезке $[-1, 1]$.

Для этого найдем производную функции $g(t)$:

$g'(t) = \left(-\frac{2}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 + t + \frac{5}{2}\right)' = -\frac{2}{3} \cdot 3t^2 - \frac{3}{2} \cdot 2t + 1 = -2t^2 - 3t + 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-2t^2 - 3t + 1 = 0$

$2t^2 + 3t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-1) = 9 + 8 = 17$.

Корни уравнения:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$.

Получаем две критические точки: $t_1 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4}$ и $t_2 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$.

Проверим, принадлежат ли эти точки отрезку $[-1, 1]$.

Для $t_1$: так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $-3 - \sqrt{17} < -3 - 4 = -7$. Следовательно, $t_1 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4} < \frac{-7}{4} = -1.75$. Эта точка не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Для $t_2$: так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $1 < -3 + \sqrt{17} < 2$, и $0.25 < \frac{-3 + \sqrt{17}}{4} < 0.5$. Следовательно, $t_2 \in [-1, 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $g(t)$ на отрезке $[-1, 1]$ нужно вычислить значения функции в критической точке $t_2$, принадлежащей отрезку, и на концах отрезка, то есть в точках $t = -1$ и $t = 1$.

1. $g(-1) = -\frac{2}{3}(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 + (-1) + \frac{5}{2} = \frac{2}{3} - \frac{3}{2} - 1 + \frac{5}{2} = \frac{2}{3} + \frac{-3-2+5}{2} = \frac{2}{3} + 0 = \frac{2}{3}$.

2. $g(1) = -\frac{2}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + 1 + \frac{5}{2} = -\frac{2}{3} - \frac{3}{2} + \frac{7}{2} = -\frac{2}{3} + \frac{4}{2} = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3}$.

3. Знак производной $g'(t) = -2t^2 - 3t + 1$ (парабола с ветвями вниз) положителен на интервале $(t_1, t_2)$ и отрицателен вне его. Так как $-1 < t_2 < 1$, то на отрезке $[-1, 1]$ функция $g(t)$ возрастает на $[-1, t_2)$ и убывает на $(t_2, 1]$. Это означает, что в точке $t_2$ достигается максимум.

Следовательно, наибольшее значение функция $g(t)$ принимает в точке $t=t_2$. Наименьшее значение будет в одной из граничных точек. Сравниваем $g(-1) = \frac{2}{3}$ и $g(1) = \frac{4}{3}$. Так как $\frac{2}{3} < \frac{4}{3}$, наименьшее значение функция принимает в точке $t = -1$.

Теперь вернемся к переменной $x$.

a) принимает наибольшее значение

Функция $f(x)$ принимает наибольшее значение, когда $\cos x = t = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$. Решения этого уравнения:

$x = \pm \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{17}}{4}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{17}}{4}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) принимает наименьшее значение

Функция $f(x)$ принимает наименьшее значение, когда $\cos x = t = -1$. Решения этого уравнения:

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Определите наибольшее и наименьшее значения функции $v(t)=2t^3+3t|t+1|-33t+1$ на отрезке $t \in [-3;1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $v(t) = 2t^3 + 3t|t+1| - |33t+1|$ на отрезке $t \in [-3, 1]$, необходимо исследовать ее поведение на этом отрезке. Наличие модулей требует рассмотрения функции на разных промежутках, в зависимости от знаков выражений $t+1$ и $33t+1$.

Точки, в которых выражения под модулем меняют знак: $t+1 = 0 \implies t=-1$ и $33t+1 = 0 \implies t=-1/33$. Эти точки разбивают отрезок $[-3, 1]$ на три подынтервала: $[-3, -1]$, $[-1, -1/33]$ и $[-1/33, 1]$.

1. На интервале $t \in [-3, -1]$:
Здесь $t+1 \le 0$ и $33t+1 < 0$. Следовательно, $|t+1| = -(t+1)$ и $|33t+1| = -(33t+1)$.Функция принимает вид:
$v(t) = 2t^3 + 3t(-(t+1)) - (-(33t+1)) = 2t^3 - 3t^2 - 3t + 33t + 1 = 2t^3 - 3t^2 + 30t + 1$.
Найдем производную: $v'(t) = 6t^2 - 6t + 30 = 6(t^2 - t + 5)$.
Дискриминант квадратного трехчлена $t^2 - t + 5$ равен $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -19$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, $v'(t) > 0$ для любого $t$. Это значит, что функция строго возрастает на отрезке $[-3, -1]$.

2. На интервале $t \in [-1, -1/33]$:
Здесь $t+1 \ge 0$ и $33t+1 \le 0$. Следовательно, $|t+1| = t+1$ и $|33t+1| = -(33t+1)$.Функция принимает вид:
$v(t) = 2t^3 + 3t(t+1) - (-(33t+1)) = 2t^3 + 3t^2 + 3t + 33t + 1 = 2t^3 + 3t^2 + 36t + 1$.
Производная: $v'(t) = 6t^2 + 6t + 36 = 6(t^2 + t + 6)$.
Дискриминант $t^2 + t + 6$ равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = -23$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, $v'(t) > 0$ для любого $t$. Это значит, что функция строго возрастает на отрезке $[-1, -1/33]$.

3. На интервале $t \in [-1/33, 1]$:
Здесь $t+1 > 0$ и $33t+1 \ge 0$. Следовательно, $|t+1| = t+1$ и $|33t+1| = 33t+1$.Функция принимает вид:
$v(t) = 2t^3 + 3t(t+1) - (33t+1) = 2t^3 + 3t^2 + 3t - 33t - 1 = 2t^3 + 3t^2 - 30t - 1$.
Производная: $v'(t) = 6t^2 + 6t - 30 = 6(t^2 + t - 5)$.
Найдем нули производной, решив уравнение $t^2 + t - 5 = 0$:
$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Корень $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} \approx -2.79$ и корень $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \approx 1.79$. Ни один из этих корней не попадает в интервал $[-1/33, 1]$.
Определим знак производной на этом интервале, взяв пробную точку $t=0$: $v'(0) = -30 < 0$. Значит, функция строго убывает на отрезке $[-1/33, 1]$.

Вывод:Функция $v(t)$ возрастает на отрезке $[-3, -1/33]$ и убывает на отрезке $[-1/33, 1]$. Следовательно, точка $t = -1/33$ является точкой максимума. Наименьшее значение функции будет на одном из концов отрезка: в точке $t=-3$ или $t=1$.

Наибольшее значение функции
Найдем значение функции в точке максимума $t = -1/33$.$v(-\frac{1}{33}) = 2(-\frac{1}{33})^3 + 3(-\frac{1}{33})|-\frac{1}{33}+1| - |33(-\frac{1}{33})+1|$$v(-\frac{1}{33}) = 2(-\frac{1}{35937}) + 3(-\frac{1}{33})(\frac{32}{33}) - |-1+1|$$v(-\frac{1}{33}) = -\frac{2}{35937} - \frac{96}{1089} - 0 = -\frac{2}{35937} - \frac{96 \cdot 33}{1089 \cdot 33} = \frac{-2 - 3168}{35937} = -\frac{3170}{35937}$.
Ответ: $-\frac{3170}{35937}$.

Наименьшее значение функции
Сравним значения функции на концах отрезка $[-3, 1]$.
$v(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)|-3+1| - |33(-3)+1| = 2(-27) - 9|-2| - |-98| = -54 - 18 - 98 = -170$.
$v(1) = 2(1)^3 + 3(1)|1+1| - |33(1)+1| = 2 + 3(2) - 34 = 2 + 6 - 34 = -26$.
Сравнивая значения, видим, что $-170 < -26$.
Ответ: $-170$.

10. (4) Определите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=\operatorname{tg} x-\frac{4}{3} x$ на отрезке $x \in\left[0 ; \frac{\pi}{3}\right].

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \text{tg}x - \frac{4}{3}x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{3}]$, необходимо найти значения функции в критических точках и на концах заданного отрезка, а затем сравнить их.

Нахождение производной

Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\text{tg}x - \frac{4}{3}x)' = \frac{1}{\cos^2x} - \frac{4}{3}$.

Нахождение критических точек

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки. Производная существует на всем заданном отрезке.

$f'(x) = 0 \implies \frac{1}{\cos^2x} - \frac{4}{3} = 0$

$\frac{1}{\cos^2x} = \frac{4}{3}$

$\cos^2x = \frac{3}{4}$

$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

На отрезке $[0; \frac{\pi}{3}]$ косинус принимает только положительные значения, поэтому рассматриваем только $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Единственная точка на отрезке, удовлетворяющая этому условию, это $x = \frac{\pi}{6}$.

Вычисление значений функции

Вычисляем значения функции в критической точке $x=\frac{\pi}{6}$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=\frac{\pi}{3}$.

1. При $x = 0$:

$f(0) = \text{tg}(0) - \frac{4}{3} \cdot 0 = 0$.

2. При $x = \frac{\pi}{6}$:

$f(\frac{\pi}{6}) = \text{tg}(\frac{\pi}{6}) - \frac{4}{3} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{2\pi}{9}$.

3. При $x = \frac{\pi}{3}$:

$f(\frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) - \frac{4}{3} \cdot \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{4\pi}{9}$.

Сравнение полученных значений

Мы имеем три значения: $0$, $\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{2\pi}{9}$ и $\sqrt{3} - \frac{4\pi}{9}$.

Сравним $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{2\pi}{9}$. Это эквивалентно сравнению $3\sqrt{3}$ и $2\pi$. Возведя в квадрат обе положительные части, получаем $27$ и $4\pi^2$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $4\pi^2 \approx 4 \cdot 9.86 = 39.44$. Поскольку $27 < 39.44$, то $\frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{2\pi}{9}$, и значит $f(\frac{\pi}{6}) < 0$.

Сравним $\sqrt{3}$ и $\frac{4\pi}{9}$. Это эквивалентно сравнению $9\sqrt{3}$ и $4\pi$. Возведя в квадрат, получаем $243$ и $16\pi^2 \approx 16 \cdot 9.86 = 157.76$. Поскольку $243 > 157.76$, то $\sqrt{3} > \frac{4\pi}{9}$, и значит $f(\frac{\pi}{3}) > 0$.

Таким образом, $f(\frac{\pi}{6}) < f(0) < f(\frac{\pi}{3})$.

Наименьшее значение

Из проведенного сравнения следует, что наименьшее значение функция принимает в точке $x = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: Наименьшее значение функции равно $\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{2\pi}{9}$.

Наибольшее значение

Из проведенного сравнения следует, что наибольшее значение функция принимает в точке $x = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно $\sqrt{3} - \frac{4\pi}{9}$.

11. (1) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x) = 2x^2 + 6x - 2$ на каждом из отрезков:

а) $x \in [-3; -2]$;

б) $x \in [-2; 0]$;

в) $x \in [0; 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции $f(x)$ на замкнутом отрезке $[a; b]$ используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $f'(x)$.

2. Найти стационарные (критические) точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат данному отрезку $[a; b]$.

4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка, т.е. в точках $a$ и $b$.

5. Сравнить полученные значения. Самое большое из них будет наибольшим значением функции на отрезке, а самое маленькое — наименьшим.

Дана функция $f(x) = 2x^2 + 6x - 2$.

1. Найдем ее производную:

$f'(x) = (2x^2 + 6x - 2)' = 4x + 6$.

2. Найдем критические точки:

$f'(x) = 0 \implies 4x + 6 = 0$

$4x = -6$

$x = -\frac{6}{4} = -1.5$.

У функции есть одна критическая точка $x = -1.5$.

а) $x \in [-3; -2]$

Критическая точка $x = -1.5$ не попадает в отрезок $[-3; -2]$. Следовательно, вычисляем значения функции только на концах этого отрезка.

$f(-3) = 2(-3)^2 + 6(-3) - 2 = 2 \cdot 9 - 18 - 2 = 18 - 18 - 2 = -2$.

$f(-2) = 2(-2)^2 + 6(-2) - 2 = 2 \cdot 4 - 12 - 2 = 8 - 12 - 2 = -6$.

Сравнивая значения, видим, что наибольшее значение равно $-2$, а наименьшее равно $-6$.

Ответ: наибольшее значение $-2$, наименьшее значение $-6$.

б) $x \in [-2; 0]$

Критическая точка $x = -1.5$ попадает в отрезок $[-2; 0]$. Следовательно, вычисляем значения функции на концах отрезка и в этой критической точке.

$f(-2) = 2(-2)^2 + 6(-2) - 2 = 8 - 12 - 2 = -6$.

$f(0) = 2(0)^2 + 6(0) - 2 = 0 + 0 - 2 = -2$.

$f(-1.5) = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) - 2 = 2 \cdot 2.25 - 9 - 2 = 4.5 - 9 - 2 = -6.5$.

Сравнивая полученные значения ($-6$, $-2$, $-6.5$), видим, что наибольшее значение равно $-2$, а наименьшее равно $-6.5$.

Ответ: наибольшее значение $-2$, наименьшее значение $-6.5$.

в) $x \in [0; 1]$

Критическая точка $x = -1.5$ не попадает в отрезок $[0; 1]$. Следовательно, вычисляем значения функции только на концах этого отрезка.

$f(0) = 2(0)^2 + 6(0) - 2 = -2$.

$f(1) = 2(1)^2 + 6(1) - 2 = 2 + 6 - 2 = 6$.

Сравнивая значения, видим, что наибольшее значение равно $6$, а наименьшее равно $-2$.

Ответ: наибольшее значение $6$, наименьшее значение $-2$.

12. (1) Для каждой из следующих функций определите наибольшее и наименьшее значения на отрезке $x \in [-1;2]$:

a) $f(x)=-x^3+x^2;$

б) $g(x)=-x^3+9x^2;$

в) $h(x)=-x^3+27x.$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом отрезке, необходимо вычислить значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из полученных чисел самое большое и самое маленькое.

а) $f(x) = -x^3 + x^2$ на отрезке $x \in [-1, 2]$

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (-x^3 + x^2)' = -3x^2 + 2x$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$-3x^2 + 2x = 0$

$x(-3x + 2) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.

3. Обе критические точки ($0$ и $\frac{2}{3}$) принадлежат отрезку $[-1, 2]$.

4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$f(-1) = -(-1)^3 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$

$f(2) = -(2)^3 + (2)^2 = -8 + 4 = -4$

$f(0) = -(0)^3 + (0)^2 = 0$

$f(\frac{2}{3}) = -(\frac{2}{3})^3 + (\frac{2}{3})^2 = -\frac{8}{27} + \frac{4}{9} = -\frac{8}{27} + \frac{12}{27} = \frac{4}{27}$

5. Сравниваем полученные значения: $2$, $-4$, $0$ и $\frac{4}{27}$.

Наибольшее значение равно $2$, а наименьшее равно $-4$.

Ответ: наибольшее значение $2$, наименьшее значение $-4$.

б) $g(x) = -x^3 + 9x^2$ на отрезке $x \in [-1, 2]$

1. Находим производную функции:

$g'(x) = (-x^3 + 9x^2)' = -3x^2 + 18x$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $g'(x) = 0$:

$-3x^2 + 18x = 0$

$-3x(x - 6) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

3. Из этих точек отрезку $[-1, 2]$ принадлежит только $x = 0$. Точка $x=6$ не принадлежит этому отрезку.

4. Вычисляем значения функции в точке $x=0$ и на концах отрезка:

$g(-1) = -(-1)^3 + 9(-1)^2 = 1 + 9 = 10$

$g(2) = -(2)^3 + 9(2)^2 = -8 + 9 \cdot 4 = -8 + 36 = 28$

$g(0) = -(0)^3 + 9(0)^2 = 0$

5. Сравниваем полученные значения: $10$, $28$ и $0$.

Наибольшее значение равно $28$, а наименьшее равно $0$.

Ответ: наибольшее значение $28$, наименьшее значение $0$.

в) $h(x) = -x^3 + 27x$ на отрезке $x \in [-1, 2]$

1. Находим производную функции:

$h'(x) = (-x^3 + 27x)' = -3x^2 + 27$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $h'(x) = 0$:

$-3x^2 + 27 = 0$

$3x^2 = 27$

$x^2 = 9$

Критические точки: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

3. Ни одна из критических точек ($3$ и $-3$) не принадлежит отрезку $[-1, 2]$.

4. Следовательно, функция на этом отрезке монотонна. Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычисляем их:

$h(-1) = -(-1)^3 + 27(-1) = 1 - 27 = -26$

$h(2) = -(2)^3 + 27(2) = -8 + 54 = 46$

5. Сравниваем полученные значения: $-26$ и $46$.

Наибольшее значение равно $46$, а наименьшее равно $-26$.

Ответ: наибольшее значение $46$, наименьшее значение $-26$.

13. (2) Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках:

а) $f(x)=-4x^4+2x^2+5, x \in [0;2];$

б) $g(x)=(x+2)^2(1-x)^3, x \in [-3;-1].$

а) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = -4x^4 + 2x^2 + 5$ на отрезке $[0; 2]$, нужно вычислить значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, которые ему принадлежат.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (-4x^4 + 2x^2 + 5)' = -16x^3 + 4x$

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$-16x^3 + 4x = 0$

$4x(-4x^2 + 1) = 0$

Отсюда получаем три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{2}$, $x_3 = -\frac{1}{2}$.

3. Определяем, какие из критических точек попадают в заданный отрезок $[0; 2]$.

Точки $x=0$ и $x=\frac{1}{2}$ принадлежат отрезку $[0; 2]$. Точка $x=-\frac{1}{2}$ не принадлежит этому отрезку.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка ($x=0$ и $x=2$) и в принадлежащей ему критической точке ($x=\frac{1}{2}$):

$f(0) = -4(0)^4 + 2(0)^2 + 5 = 5$

$f(\frac{1}{2}) = -4(\frac{1}{2})^4 + 2(\frac{1}{2})^2 + 5 = -4 \cdot \frac{1}{16} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 5 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 5 = 5.25$

$f(2) = -4(2)^4 + 2(2)^2 + 5 = -4 \cdot 16 + 2 \cdot 4 + 5 = -64 + 8 + 5 = -51$

5. Сравниваем полученные значения: $5$, $5.25$ и $-51$. Наибольшее из них $5.25$, а наименьшее $-51$.

Ответ: Наибольшее значение: $5.25$; Наименьшее значение: $-51$.

б) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $g(x) = (x+2)^2(1-x)^3$ на отрезке $[-3; -1]$, используем тот же алгоритм.

1. Находим производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$g'(x) = ((x+2)^2)'(1-x)^3 + (x+2)^2((1-x)^3)'$

$g'(x) = 2(x+2)(1-x)^3 + (x+2)^2 \cdot 3(1-x)^2 \cdot (-1) = 2(x+2)(1-x)^3 - 3(x+2)^2(1-x)^2$

Вынесем общий множитель $(x+2)(1-x)^2$ за скобки:

$g'(x) = (x+2)(1-x)^2 [2(1-x) - 3(x+2)] = (x+2)(1-x)^2 [2 - 2x - 3x - 6] = (x+2)(1-x)^2(-5x-4)$

2. Находим критические точки из уравнения $g'(x)=0$:

$(x+2)(1-x)^2(-5x-4) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = -\frac{4}{5} = -0.8$.

3. Определяем, какие из критических точек принадлежат отрезку $[-3; -1]$.

Только точка $x=-2$ принадлежит этому отрезку. Точки $x=1$ и $x=-0.8$ не принадлежат.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка ($x=-3$ и $x=-1$) и в критической точке $x=-2$:

$g(-3) = (-3+2)^2(1-(-3))^3 = (-1)^2 \cdot 4^3 = 1 \cdot 64 = 64$

$g(-2) = (-2+2)^2(1-(-2))^3 = 0^2 \cdot 3^3 = 0$

$g(-1) = (-1+2)^2(1-(-1))^3 = 1^2 \cdot 2^3 = 1 \cdot 8 = 8$

5. Сравниваем полученные значения: $64$, $0$ и $8$. Наибольшее из них $64$, а наименьшее $0$.

Ответ: Наибольшее значение: $64$; Наименьшее значение: $0$.