Номер 8, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (3) Найдите все значения x, для каждого из которых функция

$f(x)=-\frac{2}{3}\cos^3 x+\frac{3}{2}\sin^2 x+\cos x+1;$

а) принимает наибольшее значение;

б) принимает наименьшее значение.

Для нахождения значений $x$, при которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, преобразуем данную функцию. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, чтобы выразить функцию только через $\cos x$.

$f(x) = -\frac{2}{3}\cos^3 x + \frac{3}{2}(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1$

$f(x) = -\frac{2}{3}\cos^3 x + \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos^2 x + \cos x + 1$

$f(x) = -\frac{2}{3}\cos^3 x - \frac{3}{2}\cos^2 x + \cos x + \frac{5}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Поскольку область значений косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, то $t \in [-1, 1]$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $g(t) = -\frac{2}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 + t + \frac{5}{2}$ на отрезке $[-1, 1]$.

Для этого найдем производную функции $g(t)$:

$g'(t) = \left(-\frac{2}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 + t + \frac{5}{2}\right)' = -\frac{2}{3} \cdot 3t^2 - \frac{3}{2} \cdot 2t + 1 = -2t^2 - 3t + 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-2t^2 - 3t + 1 = 0$

$2t^2 + 3t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-1) = 9 + 8 = 17$.

Корни уравнения:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$.

Получаем две критические точки: $t_1 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4}$ и $t_2 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$.

Проверим, принадлежат ли эти точки отрезку $[-1, 1]$.

Для $t_1$: так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $-3 - \sqrt{17} < -3 - 4 = -7$. Следовательно, $t_1 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4} < \frac{-7}{4} = -1.75$. Эта точка не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Для $t_2$: так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $1 < -3 + \sqrt{17} < 2$, и $0.25 < \frac{-3 + \sqrt{17}}{4} < 0.5$. Следовательно, $t_2 \in [-1, 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $g(t)$ на отрезке $[-1, 1]$ нужно вычислить значения функции в критической точке $t_2$, принадлежащей отрезку, и на концах отрезка, то есть в точках $t = -1$ и $t = 1$.

1. $g(-1) = -\frac{2}{3}(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 + (-1) + \frac{5}{2} = \frac{2}{3} - \frac{3}{2} - 1 + \frac{5}{2} = \frac{2}{3} + \frac{-3-2+5}{2} = \frac{2}{3} + 0 = \frac{2}{3}$.

2. $g(1) = -\frac{2}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + 1 + \frac{5}{2} = -\frac{2}{3} - \frac{3}{2} + \frac{7}{2} = -\frac{2}{3} + \frac{4}{2} = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3}$.

3. Знак производной $g'(t) = -2t^2 - 3t + 1$ (парабола с ветвями вниз) положителен на интервале $(t_1, t_2)$ и отрицателен вне его. Так как $-1 < t_2 < 1$, то на отрезке $[-1, 1]$ функция $g(t)$ возрастает на $[-1, t_2)$ и убывает на $(t_2, 1]$. Это означает, что в точке $t_2$ достигается максимум.

Следовательно, наибольшее значение функция $g(t)$ принимает в точке $t=t_2$. Наименьшее значение будет в одной из граничных точек. Сравниваем $g(-1) = \frac{2}{3}$ и $g(1) = \frac{4}{3}$. Так как $\frac{2}{3} < \frac{4}{3}$, наименьшее значение функция принимает в точке $t = -1$.

Теперь вернемся к переменной $x$.

a) принимает наибольшее значение

Функция $f(x)$ принимает наибольшее значение, когда $\cos x = t = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$. Решения этого уравнения:

$x = \pm \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{17}}{4}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{17}}{4}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) принимает наименьшее значение

Функция $f(x)$ принимает наименьшее значение, когда $\cos x = t = -1$. Решения этого уравнения:

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.