Номер 14, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. (3) Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках:

а) $f(x) = \frac{2x^3}{x^2-9}, x \in [4;6];$

б) $g(x) = \frac{x^3+2x^2}{x-2}, x \in [-1;1].$

а) $f(x) = \frac{2x^3}{x^2-9}, x \in [4; 6]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, найдем ее производную, критические точки, а затем сравним значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(2x^3)'(x^2-9) - 2x^3(x^2-9)'}{(x^2-9)^2} = \frac{6x^2(x^2-9) - 2x^3(2x)}{(x^2-9)^2}$

$f'(x) = \frac{6x^4 - 54x^2 - 4x^4}{(x^2-9)^2} = \frac{2x^4 - 54x^2}{(x^2-9)^2} = \frac{2x^2(x^2-27)}{(x^2-9)^2}$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{2x^2(x^2-27)}{(x^2-9)^2} = 0$

Это уравнение равносильно $2x^2(x^2-27)=0$ при условии, что знаменатель не равен нулю ($x \neq \pm 3$).

Получаем два случая:

$2x^2 = 0 \implies x = 0$. Эта точка не принадлежит отрезку $[4; 6]$.

$x^2-27 = 0 \implies x^2 = 27 \implies x = \pm\sqrt{27} = \pm3\sqrt{3}$.

Отрицательный корень $x = -3\sqrt{3}$ не принадлежит отрезку $[4; 6]$.

Проверим, принадлежит ли $x = 3\sqrt{3}$ отрезку $[4; 6]$. Так как $4^2 = 16$ и $6^2 = 36$, а $(3\sqrt{3})^2 = 27$, то $16 < 27 < 36$, следовательно $4 < 3\sqrt{3} < 6$. Точка $x=3\sqrt{3}$ принадлежит заданному отрезку.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка $x=4$, $x=6$ и в критической точке $x=3\sqrt{3}$.

При $x=4$:

$f(4) = \frac{2 \cdot 4^3}{4^2-9} = \frac{2 \cdot 64}{16-9} = \frac{128}{7}$

При $x=6$:

$f(6) = \frac{2 \cdot 6^3}{6^2-9} = \frac{2 \cdot 216}{36-9} = \frac{432}{27} = 16$

При $x=3\sqrt{3}$:

$f(3\sqrt{3}) = \frac{2 \cdot (3\sqrt{3})^3}{(3\sqrt{3})^2-9} = \frac{2 \cdot 27 \cdot 3\sqrt{3}}{27-9} = \frac{162\sqrt{3}}{18} = 9\sqrt{3}$

4. Сравним полученные значения: $\frac{128}{7}$, $16$ и $9\sqrt{3}$.

$\frac{128}{7} = 18\frac{2}{7}$.

Сравним $16$ и $9\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $16^2 = 256$, $(9\sqrt{3})^2 = 81 \cdot 3 = 243$. Так как $256 > 243$, то $16 > 9\sqrt{3}$.

Таким образом, $18\frac{2}{7} > 16 > 9\sqrt{3}$.

Наибольшее значение функции равно $\frac{128}{7}$, а наименьшее – $9\sqrt{3}$.

Ответ: наименьшее значение функции $9\sqrt{3}$, наибольшее значение функции $\frac{128}{7}$.

б) $g(x) = \frac{x^3+2x^2}{x-2}, x \in [-1; 1]$

Действуем по тому же алгоритму.

1. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = \frac{(x^3+2x^2)'(x-2) - (x^3+2x^2)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{(3x^2+4x)(x-2) - (x^3+2x^2)(1)}{(x-2)^2}$

$g'(x) = \frac{3x^3 - 6x^2 + 4x^2 - 8x - x^3 - 2x^2}{(x-2)^2} = \frac{2x^3 - 4x^2 - 8x}{(x-2)^2} = \frac{2x(x^2-2x-4)}{(x-2)^2}$

2. Найдем критические точки из условия $g'(x) = 0$.

$\frac{2x(x^2-2x-4)}{(x-2)^2} = 0$

Условие $g'(x)=0$ выполняется, когда числитель равен нулю: $2x(x^2-2x-4)=0$.

Получаем два случая:

$2x=0 \implies x=0$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

$x^2-2x-4=0$. Решим квадратное уравнение: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4+16=20$.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$.

Оценим значения корней: $\sqrt{5} \approx 2.24$.

$x_1 = 1+\sqrt{5} \approx 3.24$. Эта точка не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

$x_2 = 1-\sqrt{5} \approx -1.24$. Эта точка не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Таким образом, единственная критическая точка в заданном отрезке — это $x=0$.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка $x=-1$, $x=1$ и в критической точке $x=0$.

При $x=-1$:

$g(-1) = \frac{(-1)^3+2(-1)^2}{-1-2} = \frac{-1+2}{-3} = -\frac{1}{3}$

При $x=1$:

$g(1) = \frac{1^3+2 \cdot 1^2}{1-2} = \frac{1+2}{-1} = -3$

При $x=0$:

$g(0) = \frac{0^3+2 \cdot 0^2}{0-2} = \frac{0}{-2} = 0$

4. Сравним полученные значения: $-\frac{1}{3}$, $-3$ и $0$.

Очевидно, что $0 > -\frac{1}{3} > -3$.

Наибольшее значение функции равно $0$, а наименьшее – $-3$.

Ответ: наименьшее значение функции $-3$, наибольшее значение функции $0$.