Номер 18, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. (3) Найдите все значения $x$, для каждого из которых функция

$f(x)=-4\sin^3 x-9\cos^2 x-6\sin x+1$ принимает:

а) наименьшее значение;

б) наибольшее значение.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых функция $f(x) = -4\sin^3 x - 9\cos^2 x - 6\sin x + 1$ принимает наименьшее и наибольшее значения, мы сначала упростим выражение для функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы выразить функцию только через $\sin x$.
$f(x) = -4\sin^3 x - 9(1 - \sin^2 x) - 6\sin x + 1$
$f(x) = -4\sin^3 x - 9 + 9\sin^2 x - 6\sin x + 1$
$f(x) = -4\sin^3 x + 9\sin^2 x - 6\sin x - 8$
Теперь введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как значение синуса любого угла лежит в отрезке $[-1, 1]$, то переменная $t$ будет принимать значения из этого же отрезка: $t \in [-1, 1]$.
Задача сводится к нахождению экстремумов (наименьшего и наибольшего значений) кубической функции $g(t) = -4t^3 + 9t^2 - 6t - 8$ на отрезке $[-1, 1]$.
Для этого найдем производную функции $g(t)$ по переменной $t$:
$g'(t) = (-4t^3 + 9t^2 - 6t - 8)' = -12t^2 + 18t - 6$
Найдем критические точки функции, решив уравнение $g'(t) = 0$:
$-12t^2 + 18t - 6 = 0$
Разделим все уравнение на $-6$ для упрощения:
$2t^2 - 3t + 1 = 0$
Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант или разложением на множители. Корнями уравнения являются:
$t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = 1$
Обе критические точки $t = 1/2$ и $t = 1$ принадлежат рассматриваемому отрезку $[-1, 1]$.
Теперь найдем значения функции $g(t)$ в этих критических точках и на концах отрезка (в точках $t = -1$ и $t = 1$):
При $t = -1$: $g(-1) = -4(-1)^3 + 9(-1)^2 - 6(-1) - 8 = 4 + 9 + 6 - 8 = 11$
При $t = 1/2$: $g(\frac{1}{2}) = -4(\frac{1}{2})^3 + 9(\frac{1}{2})^2 - 6(\frac{1}{2}) - 8 = -4(\frac{1}{8}) + 9(\frac{1}{4}) - 3 - 8 = -\frac{1}{2} + \frac{9}{4} - 11 = -\frac{2}{4} + \frac{9}{4} - \frac{44}{4} = -\frac{37}{4} = -9,25$
При $t = 1$: $g(1) = -4(1)^3 + 9(1)^2 - 6(1) - 8 = -4 + 9 - 6 - 8 = -9$
Сравнивая вычисленные значения $g(-1) = 11$, $g(1/2) = -9,25$ и $g(1) = -9$, мы заключаем, что наименьшее значение функции $g(t)$ на отрезке $[-1, 1]$ равно $-9,25$ (достигается при $t=1/2$), а наибольшее значение равно $11$ (достигается при $t=-1$).

а) наименьшее значение;
Функция $f(x)$ принимает свое наименьшее значение, когда соответствующая переменная $t = \sin x$ равна значению, при котором функция $g(t)$ минимальна. Это значение $t = 1/2$.
Таким образом, нам необходимо найти все $x$, для которых выполняется равенство:
$\sin x = \frac{1}{2}$
Общее решение этого тригонометрического уравнения имеет вид:
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Это можно также записать в виде двух серий решений: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) наибольшее значение.
Функция $f(x)$ принимает свое наибольшее значение, когда $t = \sin x$ равно значению, при котором функция $g(t)$ максимальна. Это значение $t = -1$.
Таким образом, нам необходимо найти все $x$, для которых выполняется равенство:
$\sin x = -1$
Общее решение этого уравнения:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.