Номер 19, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

19. (4) Определите наибольшее и наименьшее значения функции $p(t)=|4t^2-15t+12|+5$ на отрезке $t \in [-1,2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $v(t) = |t|(4t^2 - 15t + 12) + 5$ на отрезке $t \in [-1, 2]$, необходимо исследовать значения функции на концах отрезка и в критических точках, лежащих внутри этого отрезка.

Из-за наличия модуля $|t|$, рассмотрим функцию на двух подинтервалах: $[-1, 0)$ и $[0, 2]$.

1. На интервале $t \in [-1, 0)$, имеем $|t| = -t$. Функция принимает вид:

$v(t) = -t(4t^2 - 15t + 12) + 5 = -4t^3 + 15t^2 - 12t + 5$.

Найдем производную: $v'(t) = (-4t^3 + 15t^2 - 12t + 5)' = -12t^2 + 30t - 12$.

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $-12t^2 + 30t - 12 = 0$, что эквивалентно $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 0.5$ и $t_2 = 2$. Ни один из этих корней не принадлежит интервалу $(-1, 0)$, поэтому на этом интервале нет стационарных точек.

2. На отрезке $t \in [0, 2]$, имеем $|t| = t$. Функция принимает вид:

$v(t) = t(4t^2 - 15t + 12) + 5 = 4t^3 - 15t^2 + 12t + 5$.

Найдем производную: $v'(t) = (4t^3 - 15t^2 + 12t + 5)' = 12t^2 - 30t + 12$.

Приравняем производную к нулю: $12t^2 - 30t + 12 = 0$, что эквивалентно $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 0.5$ и $t_2 = 2$. Точка $t=0.5$ принадлежит интервалу $(0, 2)$ и является критической. Точка $t=2$ является концом отрезка.

3. Точка $t=0$ является точкой, где меняется определение функции (из-за модуля). В таких точках производная может не существовать, поэтому $t=0$ также является критической точкой.

4. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений, вычислим значения функции $v(t)$ в найденной критической точке $t=0.5$, в точке излома $t=0$ и на концах отрезка $t=-1$ и $t=2$.

При $t = -1$:

$v(-1) = |-1|(4(-1)^2 - 15(-1) + 12) + 5 = 1 \cdot (4 + 15 + 12) + 5 = 31 + 5 = 36$.

При $t = 0$:

$v(0) = |0|(4(0)^2 - 15(0) + 12) + 5 = 0 \cdot 12 + 5 = 5$.

При $t = 0.5$:

$v(0.5) = |0.5|(4(0.5)^2 - 15(0.5) + 12) + 5 = 0.5 \cdot (4 \cdot 0.25 - 7.5 + 12) + 5 = 0.5 \cdot (1 - 7.5 + 12) + 5 = 0.5 \cdot 5.5 + 5 = 2.75 + 5 = 7.75$.

При $t = 2$:

$v(2) = |2|(4(2)^2 - 15(2) + 12) + 5 = 2 \cdot (4 \cdot 4 - 30 + 12) + 5 = 2 \cdot (16 - 30 + 12) + 5 = 2 \cdot (-2) + 5 = -4 + 5 = 1$.

5. Сравним полученные значения функции: $36, 5, 7.75, 1$.

Наибольшее значение функции

Сравнивая вычисленные значения $v(-1)=36$, $v(0)=5$, $v(0.5)=7.75$ и $v(2)=1$, находим, что наибольшее значение функции на отрезке $[-1, 2]$ равно 36.

Ответ: 36.

Наименьшее значение функции

Сравнивая те же значения, находим, что наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 2]$ равно 1.

Ответ: 1.