Номер 16, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (1) Используя замену $\cos x = t \in [-1;1]$, найдите наименьшее значение функции $f(x) = \cos^2 x + \cos x$. При каких значениях переменной $x$ функция $f(x)$ достигает своего наименьшего значения?

(1)

Дана функция $f(x) = \cos^2x + \cos x$. Для нахождения ее наименьшего значения воспользуемся предложенной заменой.

1. Введем замену переменной: $t = \cos x$. Поскольку область значений функции косинуса есть отрезок $[-1, 1]$, то новая переменная $t$ может принимать значения только из этого отрезка: $t \in [-1, 1]$.

После замены функция $f(x)$ преобразуется в квадратичную функцию от $t$:

$g(t) = t^2 + t$.

Задача сводится к нахождению наименьшего значения функции $g(t)$ на отрезке $[-1, 1]$.

2. Графиком функции $g(t) = t^2 + t$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $t^2$ равен 1, что больше нуля). Свое наименьшее значение такая парабола принимает в вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы $t_в$ по формуле $t_в = -\frac{b}{2a}$:

$t_в = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$.

Поскольку значение $t_в = -\frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, наименьшее значение функции $g(t)$ на этом отрезке будет достигаться именно в вершине.

Найдем это наименьшее значение, подставив $t_в$ в функцию $g(t)$:

$g_{наим} = g(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

Таким образом, наименьшее значение функции $f(x)$ равно $-\frac{1}{4}$.

3. Теперь найдем значения переменной $x$, при которых функция достигает этого наименьшего значения. Это происходит при $t = -\frac{1}{2}$. Выполним обратную замену:

$\cos x = -\frac{1}{2}$.

Решим это тригонометрическое уравнение. Общее решение имеет вид:

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{1}{4}$; оно достигается при $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.