Номер 20, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

20. (4)

Определите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = -\cot x - 2x$ на отрезке $x \in \left[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right]$.

Для того чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = -\mathrm{ctg}\,x - 2x$ на отрезке $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$, необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку.

1. Нахождение производной.
Найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (-\mathrm{ctg}\,x - 2x)' = -(-\frac{1}{\sin^2 x}) - 2 = \frac{1}{\sin^2 x} - 2$.

2. Нахождение критических точек.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:$f'(x) = 0$$\frac{1}{\sin^2 x} - 2 = 0$$\frac{1}{\sin^2 x} = 2$$\sin^2 x = \frac{1}{2}$$\sin x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. Отбор критических точек.
Определим, какие из найденных точек принадлежат отрезку $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке (первая координатная четверть) синус принимает только положительные значения, поэтому рассматриваем только уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Единственным решением этого уравнения на отрезке $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$ является $x = \frac{\pi}{4}$.Производная существует во всех точках данного отрезка, так как $\sin x \neq 0$ при $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$.

4. Вычисление значений функции.
Вычислим значения функции в критической точке $x = \frac{\pi}{4}$ и на концах отрезка $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

• При $x = \frac{\pi}{6}$:$f(\frac{\pi}{6}) = -\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{6}) - 2 \cdot \frac{\pi}{6} = -\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$
• При $x = \frac{\pi}{4}$:$f(\frac{\pi}{4}) = -\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{4}) - 2 \cdot \frac{\pi}{4} = -1 - \frac{\pi}{2}$
• При $x = \frac{\pi}{2}$:$f(\frac{\pi}{2}) = -\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{2}) - 2 \cdot \frac{\pi}{2} = 0 - \pi = -\pi$

5. Сравнение значений и определение наибольшего и наименьшего.
Теперь сравним полученные значения: $-\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$, $-1 - \frac{\pi}{2}$ и $-\pi$.Воспользуемся приблизительными значениями: $\pi \approx 3.14$, $\sqrt{3} \approx 1.73$.

• $f(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \approx -1.73 - \frac{3.14}{3} \approx -1.73 - 1.05 = -2.78$
• $f(\frac{\pi}{4}) = -1 - \frac{\pi}{2} \approx -1 - \frac{3.14}{2} = -1 - 1.57 = -2.57$
• $f(\frac{\pi}{2}) = -\pi \approx -3.14$

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$ равно $-1 - \frac{\pi}{2}$, а наименьшее значение равно $-\pi$.