Номер 15, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. (3) Дана функция $y = -x^3 + 26x$, имеющая область определения $x \in [-1;4]$.

Из всех точек графика данной функции определите ту, для которой сумма координат имеет:

а) наибольшее значение:

б) наименьшее значение.

Дана функция $y = -x^3 + 26x$ с областью определения $x \in [-1; 4]$.

Нам нужно найти точку на графике, для которой сумма координат $S = x + y$ будет наибольшей или наименьшей. Выразим сумму $S$ как функцию от переменной $x$:

$S(x) = x + y = x + (-x^3 + 26x) = -x^3 + 27x$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $S(x) = -x^3 + 27x$ на отрезке $[-1; 4]$.

Для нахождения экстремумов функции на отрезке нужно вычислить её значения в критических точках и на концах отрезка. Сначала найдем производную функции $S(x)$:

$S'(x) = (-x^3 + 27x)' = -3x^2 + 27$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-3x^2 + 27 = 0$

$3x^2 = 27$

$x^2 = 9$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Проверим, какие из этих точек принадлежат заданному отрезку $x \in [-1; 4]$.

Точка $x = 3$ принадлежит отрезку $[-1; 4]$.

Точка $x = -3$ не принадлежит отрезку $[-1; 4]$, поэтому мы ее не рассматриваем.

Теперь вычислим значения функции $S(x)$ на концах отрезка (в точках $x=-1$ и $x=4$) и в критической точке $x=3$.

При $x = -1$:

$S(-1) = -(-1)^3 + 27(-1) = 1 - 27 = -26$.

При $x = 3$:

$S(3) = -(3)^3 + 27(3) = -27 + 81 = 54$.

При $x = 4$:

$S(4) = -(4)^3 + 27(4) = -64 + 108 = 44$.

Сравнивая полученные значения $S(-1)=-26$, $S(3)=54$ и $S(4)=44$, мы можем определить наибольшее и наименьшее значения суммы координат.

а) наибольшее значение:

Наибольшее значение суммы $S_{max} = 54$ достигается при $x=3$. Теперь найдем соответствующую координату $y$, подставив $x=3$ в исходное уравнение функции:

$y = -(3)^3 + 26(3) = -27 + 78 = 51$.

Таким образом, точка с наибольшей суммой координат это $(3, 51)$.

Ответ: $(3, 51)$.

б) наименьшее значение:

Наименьшее значение суммы $S_{min} = -26$ достигается при $x=-1$. Найдем соответствующую координату $y$:

$y = -(-1)^3 + 26(-1) = -(-1) - 26 = 1 - 26 = -25$.

Таким образом, точка с наименьшей суммой координат это $(-1, -25)$.

Ответ: $(-1, -25)$.