Номер 9, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Определите наибольшее и наименьшее значения функции $v(t)=2t^3+3t|t+1|-33t+1$ на отрезке $t \in [-3;1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $v(t) = 2t^3 + 3t|t+1| - |33t+1|$ на отрезке $t \in [-3, 1]$, необходимо исследовать ее поведение на этом отрезке. Наличие модулей требует рассмотрения функции на разных промежутках, в зависимости от знаков выражений $t+1$ и $33t+1$.

Точки, в которых выражения под модулем меняют знак: $t+1 = 0 \implies t=-1$ и $33t+1 = 0 \implies t=-1/33$. Эти точки разбивают отрезок $[-3, 1]$ на три подынтервала: $[-3, -1]$, $[-1, -1/33]$ и $[-1/33, 1]$.

1. На интервале $t \in [-3, -1]$:
Здесь $t+1 \le 0$ и $33t+1 < 0$. Следовательно, $|t+1| = -(t+1)$ и $|33t+1| = -(33t+1)$.Функция принимает вид:
$v(t) = 2t^3 + 3t(-(t+1)) - (-(33t+1)) = 2t^3 - 3t^2 - 3t + 33t + 1 = 2t^3 - 3t^2 + 30t + 1$.
Найдем производную: $v'(t) = 6t^2 - 6t + 30 = 6(t^2 - t + 5)$.
Дискриминант квадратного трехчлена $t^2 - t + 5$ равен $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -19$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, $v'(t) > 0$ для любого $t$. Это значит, что функция строго возрастает на отрезке $[-3, -1]$.

2. На интервале $t \in [-1, -1/33]$:
Здесь $t+1 \ge 0$ и $33t+1 \le 0$. Следовательно, $|t+1| = t+1$ и $|33t+1| = -(33t+1)$.Функция принимает вид:
$v(t) = 2t^3 + 3t(t+1) - (-(33t+1)) = 2t^3 + 3t^2 + 3t + 33t + 1 = 2t^3 + 3t^2 + 36t + 1$.
Производная: $v'(t) = 6t^2 + 6t + 36 = 6(t^2 + t + 6)$.
Дискриминант $t^2 + t + 6$ равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = -23$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, $v'(t) > 0$ для любого $t$. Это значит, что функция строго возрастает на отрезке $[-1, -1/33]$.

3. На интервале $t \in [-1/33, 1]$:
Здесь $t+1 > 0$ и $33t+1 \ge 0$. Следовательно, $|t+1| = t+1$ и $|33t+1| = 33t+1$.Функция принимает вид:
$v(t) = 2t^3 + 3t(t+1) - (33t+1) = 2t^3 + 3t^2 + 3t - 33t - 1 = 2t^3 + 3t^2 - 30t - 1$.
Производная: $v'(t) = 6t^2 + 6t - 30 = 6(t^2 + t - 5)$.
Найдем нули производной, решив уравнение $t^2 + t - 5 = 0$:
$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Корень $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} \approx -2.79$ и корень $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \approx 1.79$. Ни один из этих корней не попадает в интервал $[-1/33, 1]$.
Определим знак производной на этом интервале, взяв пробную точку $t=0$: $v'(0) = -30 < 0$. Значит, функция строго убывает на отрезке $[-1/33, 1]$.

Вывод:Функция $v(t)$ возрастает на отрезке $[-3, -1/33]$ и убывает на отрезке $[-1/33, 1]$. Следовательно, точка $t = -1/33$ является точкой максимума. Наименьшее значение функции будет на одном из концов отрезка: в точке $t=-3$ или $t=1$.

Наибольшее значение функции
Найдем значение функции в точке максимума $t = -1/33$.$v(-\frac{1}{33}) = 2(-\frac{1}{33})^3 + 3(-\frac{1}{33})|-\frac{1}{33}+1| - |33(-\frac{1}{33})+1|$$v(-\frac{1}{33}) = 2(-\frac{1}{35937}) + 3(-\frac{1}{33})(\frac{32}{33}) - |-1+1|$$v(-\frac{1}{33}) = -\frac{2}{35937} - \frac{96}{1089} - 0 = -\frac{2}{35937} - \frac{96 \cdot 33}{1089 \cdot 33} = \frac{-2 - 3168}{35937} = -\frac{3170}{35937}$.
Ответ: $-\frac{3170}{35937}$.

Наименьшее значение функции
Сравним значения функции на концах отрезка $[-3, 1]$.
$v(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)|-3+1| - |33(-3)+1| = 2(-27) - 9|-2| - |-98| = -54 - 18 - 98 = -170$.
$v(1) = 2(1)^3 + 3(1)|1+1| - |33(1)+1| = 2 + 3(2) - 34 = 2 + 6 - 34 = -26$.
Сравнивая значения, видим, что $-170 < -26$.
Ответ: $-170$.