Номер 6, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (1) а) Функция $z(t)=t^2-t$ задана на отрезке $t \in [-1;1]$. При каком значении переменной $t \in [-1;1]$ функция $z(t)$ достигает своего наибольшего значения?

(3) б) Используя результаты пункта а) данной задачи и замену $\sin x=t$, найдите наибольшее значение функции $f(x)=\sin^2 x - \sin x$. При каких значениях переменной $x$ функция $f(x)$ достигает своего наибольшего значения?

а)

Нам дана функция $z(t) = t^2 - t$ на отрезке $t \in [-1; 1]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $t^2$ равен 1, что больше нуля). Наибольшее значение на замкнутом отрезке такая функция достигает на одном из его концов.

Найдем значения функции на концах отрезка $[-1; 1]$:

При $t = -1$ значение функции равно:
$z(-1) = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

При $t = 1$ значение функции равно:
$z(1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Сравнивая значения $z(-1)=2$ и $z(1)=0$, мы видим, что наибольшее значение функция $z(t)$ достигает в точке $t = -1$.

Ответ: Наибольшее значение достигается при $t = -1$.

б)

Нам дана функция $f(x) = \sin^2 x - \sin x$. Чтобы найти ее наибольшее значение, воспользуемся результатами пункта а) и заменой $t = \sin x$.

Область значений функции синуса — это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, переменная $t$ принимает значения из отрезка $t \in [-1; 1]$.

После замены мы получаем функцию $z(t) = t^2 - t$, которая полностью совпадает с функцией из пункта а) на том же отрезке.

Из пункта а) мы знаем, что наибольшее значение функции $z(t)$ на отрезке $[-1; 1]$ равно 2 и достигается оно при $t = -1$.

Следовательно, наибольшее значение функции $f(x)$ также равно 2.

Теперь определим, при каких значениях $x$ функция $f(x)$ достигает этого значения. Это происходит, когда выполнены условия, при которых $z(t)$ максимальна, то есть когда $t = -1$.

Возвращаемся к нашей замене $t = \sin x$ и решаем уравнение:

$\sin x = -1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решениями является серия корней:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (то есть $k$ — любое целое число).

Ответ: Наибольшее значение функции $f(x)$ равно 2; оно достигается при значениях $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.