Номер 11, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (1) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x) = 2x^2 + 6x - 2$ на каждом из отрезков:

а) $x \in [-3; -2]$;

б) $x \in [-2; 0]$;

в) $x \in [0; 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции $f(x)$ на замкнутом отрезке $[a; b]$ используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $f'(x)$.

2. Найти стационарные (критические) точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат данному отрезку $[a; b]$.

4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка, т.е. в точках $a$ и $b$.

5. Сравнить полученные значения. Самое большое из них будет наибольшим значением функции на отрезке, а самое маленькое — наименьшим.

Дана функция $f(x) = 2x^2 + 6x - 2$.

1. Найдем ее производную:

$f'(x) = (2x^2 + 6x - 2)' = 4x + 6$.

2. Найдем критические точки:

$f'(x) = 0 \implies 4x + 6 = 0$

$4x = -6$

$x = -\frac{6}{4} = -1.5$.

У функции есть одна критическая точка $x = -1.5$.

а) $x \in [-3; -2]$

Критическая точка $x = -1.5$ не попадает в отрезок $[-3; -2]$. Следовательно, вычисляем значения функции только на концах этого отрезка.

$f(-3) = 2(-3)^2 + 6(-3) - 2 = 2 \cdot 9 - 18 - 2 = 18 - 18 - 2 = -2$.

$f(-2) = 2(-2)^2 + 6(-2) - 2 = 2 \cdot 4 - 12 - 2 = 8 - 12 - 2 = -6$.

Сравнивая значения, видим, что наибольшее значение равно $-2$, а наименьшее равно $-6$.

Ответ: наибольшее значение $-2$, наименьшее значение $-6$.

б) $x \in [-2; 0]$

Критическая точка $x = -1.5$ попадает в отрезок $[-2; 0]$. Следовательно, вычисляем значения функции на концах отрезка и в этой критической точке.

$f(-2) = 2(-2)^2 + 6(-2) - 2 = 8 - 12 - 2 = -6$.

$f(0) = 2(0)^2 + 6(0) - 2 = 0 + 0 - 2 = -2$.

$f(-1.5) = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) - 2 = 2 \cdot 2.25 - 9 - 2 = 4.5 - 9 - 2 = -6.5$.

Сравнивая полученные значения ($-6$, $-2$, $-6.5$), видим, что наибольшее значение равно $-2$, а наименьшее равно $-6.5$.

Ответ: наибольшее значение $-2$, наименьшее значение $-6.5$.

в) $x \in [0; 1]$

Критическая точка $x = -1.5$ не попадает в отрезок $[0; 1]$. Следовательно, вычисляем значения функции только на концах этого отрезка.

$f(0) = 2(0)^2 + 6(0) - 2 = -2$.

$f(1) = 2(1)^2 + 6(1) - 2 = 2 + 6 - 2 = 6$.

Сравнивая значения, видим, что наибольшее значение равно $6$, а наименьшее равно $-2$.

Ответ: наибольшее значение $6$, наименьшее значение $-2$.