Номер 10, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (4) Определите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=\operatorname{tg} x-\frac{4}{3} x$ на отрезке $x \in\left[0 ; \frac{\pi}{3}\right].

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \text{tg}x - \frac{4}{3}x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{3}]$, необходимо найти значения функции в критических точках и на концах заданного отрезка, а затем сравнить их.

Нахождение производной

Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\text{tg}x - \frac{4}{3}x)' = \frac{1}{\cos^2x} - \frac{4}{3}$.

Нахождение критических точек

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки. Производная существует на всем заданном отрезке.

$f'(x) = 0 \implies \frac{1}{\cos^2x} - \frac{4}{3} = 0$

$\frac{1}{\cos^2x} = \frac{4}{3}$

$\cos^2x = \frac{3}{4}$

$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

На отрезке $[0; \frac{\pi}{3}]$ косинус принимает только положительные значения, поэтому рассматриваем только $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Единственная точка на отрезке, удовлетворяющая этому условию, это $x = \frac{\pi}{6}$.

Вычисление значений функции

Вычисляем значения функции в критической точке $x=\frac{\pi}{6}$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=\frac{\pi}{3}$.

1. При $x = 0$:

$f(0) = \text{tg}(0) - \frac{4}{3} \cdot 0 = 0$.

2. При $x = \frac{\pi}{6}$:

$f(\frac{\pi}{6}) = \text{tg}(\frac{\pi}{6}) - \frac{4}{3} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{2\pi}{9}$.

3. При $x = \frac{\pi}{3}$:

$f(\frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) - \frac{4}{3} \cdot \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{4\pi}{9}$.

Сравнение полученных значений

Мы имеем три значения: $0$, $\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{2\pi}{9}$ и $\sqrt{3} - \frac{4\pi}{9}$.

Сравним $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{2\pi}{9}$. Это эквивалентно сравнению $3\sqrt{3}$ и $2\pi$. Возведя в квадрат обе положительные части, получаем $27$ и $4\pi^2$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $4\pi^2 \approx 4 \cdot 9.86 = 39.44$. Поскольку $27 < 39.44$, то $\frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{2\pi}{9}$, и значит $f(\frac{\pi}{6}) < 0$.

Сравним $\sqrt{3}$ и $\frac{4\pi}{9}$. Это эквивалентно сравнению $9\sqrt{3}$ и $4\pi$. Возведя в квадрат, получаем $243$ и $16\pi^2 \approx 16 \cdot 9.86 = 157.76$. Поскольку $243 > 157.76$, то $\sqrt{3} > \frac{4\pi}{9}$, и значит $f(\frac{\pi}{3}) > 0$.

Таким образом, $f(\frac{\pi}{6}) < f(0) < f(\frac{\pi}{3})$.

Наименьшее значение

Из проведенного сравнения следует, что наименьшее значение функция принимает в точке $x = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: Наименьшее значение функции равно $\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{2\pi}{9}$.

Наибольшее значение

Из проведенного сравнения следует, что наибольшее значение функция принимает в точке $x = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно $\sqrt{3} - \frac{4\pi}{9}$.