Номер 5, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (3) Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках:

а) $f(x) = \frac{x^4}{x+2}$, $x \in [-0.5;0]$;

б) $g(x) = \frac{x-1}{3x-x^2-3}-1$, $x \in [-1;3]$.

а)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{x^4}{x+2}$ на отрезке $[-0.5, 0]$, воспользуемся стандартным алгоритмом.

1. Находим производную функции. Функция является частным двух функций, поэтому используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$f'(x) = \frac{(x^4)'(x+2) - x^4(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{4x^3(x+2) - x^4 \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{4x^4 + 8x^3 - x^4}{(x+2)^2} = \frac{3x^4 + 8x^3}{(x+2)^2}$

2. Находим критические точки функции, приравнивая производную к нулю.

$f'(x) = 0 \implies \frac{3x^4 + 8x^3}{(x+2)^2} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$3x^4 + 8x^3 = 0 \implies x^3(3x+8) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{8}{3}$.

3. Проверяем, принадлежат ли критические точки заданному отрезку $[-0.5, 0]$.

Точка $x_1 = 0$ является правым концом отрезка.

Точка $x_2 = -\frac{8}{3} \approx -2.67$ не принадлежит отрезку $[-0.5, 0]$.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка, так как внутри отрезка нет критических точек.

При $x = -0.5$:

$f(-0.5) = \frac{(-0.5)^4}{-0.5 + 2} = \frac{(-\frac{1}{2})^4}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$

При $x = 0$:

$f(0) = \frac{0^4}{0+2} = \frac{0}{2} = 0$

5. Сравниваем полученные значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее.

Сравнивая $f(-0.5) = \frac{1}{24}$ и $f(0) = 0$, заключаем, что наибольшее значение функции равно $\frac{1}{24}$, а наименьшее равно $0$.

Ответ: наибольшее значение функции $f_{наиб} = \frac{1}{24}$, наименьшее значение функции $f_{наим} = 0$.

б)

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $g(x) = \frac{x-1}{3x-x^2-3} - 1$ на отрезке $[-1, 3]$.

1. Преобразуем функцию для удобства:

$g(x) = \frac{x-1}{-(x^2-3x+3)} - 1 = -\frac{x-1}{x^2-3x+3} - 1$

Знаменатель $x^2-3x+3$ никогда не равен нулю, так как его дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0$. Следовательно, функция непрерывна на всем отрезке $[-1, 3]$.

2. Находим производную функции $g(x)$.

$g'(x) = \left(-\frac{x-1}{x^2-3x+3} - 1\right)' = -\left(\frac{x-1}{x^2-3x+3}\right)'$

$g'(x) = -\frac{(x-1)'(x^2-3x+3) - (x-1)(x^2-3x+3)'}{(x^2-3x+3)^2}$

$g'(x) = -\frac{1 \cdot (x^2-3x+3) - (x-1)(2x-3)}{(x^2-3x+3)^2} = -\frac{x^2-3x+3 - (2x^2-5x+3)}{(x^2-3x+3)^2}$

$g'(x) = -\frac{-x^2+2x}{(x^2-3x+3)^2} = \frac{x^2-2x}{(x^2-3x+3)^2}$

3. Находим критические точки, решив уравнение $g'(x) = 0$.

$\frac{x^2-2x}{(x^2-3x+3)^2} = 0 \implies x^2-2x=0 \implies x(x-2)=0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Обе точки принадлежат отрезку $[-1, 3]$.

4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка: $x=-1, x=0, x=2, x=3$.

$g(-1) = -\frac{-1-1}{(-1)^2-3(-1)+3} - 1 = -\frac{-2}{1+3+3} - 1 = \frac{2}{7} - 1 = -\frac{5}{7}$

$g(0) = -\frac{0-1}{0^2-3(0)+3} - 1 = -\frac{-1}{3} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$

$g(2) = -\frac{2-1}{2^2-3(2)+3} - 1 = -\frac{1}{4-6+3} - 1 = -\frac{1}{1} - 1 = -2$

$g(3) = -\frac{3-1}{3^2-3(3)+3} - 1 = -\frac{2}{9-9+3} - 1 = -\frac{2}{3} - 1 = -\frac{5}{3}$

5. Сравниваем полученные значения: $-\frac{5}{7} \approx -0.714$; $-\frac{2}{3} \approx -0.667$; $-2$; $-\frac{5}{3} \approx -1.667$.

Наибольшее значение равно $-\frac{2}{3}$, а наименьшее равно $-2$.

Ответ: наибольшее значение функции $g_{наиб} = -\frac{2}{3}$, наименьшее значение функции $g_{наим} = -2$.