Номер 2, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (1) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1$ на каждом из отрезков:

a) $x \in [-3;-1];$

б) $x \in [0;2];$

в) $x \in [-3;3].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти ее значения на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из полученных чисел самое большое и самое маленькое.

Дана функция $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 12x + 1)' = 6x^2 + 6x - 12$.

Затем найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$6x^2 + 6x - 12 = 0$

Разделим обе части на 6:

$x^2 + x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Это критические точки функции.

а) $x \in [-3; -1]$

Данному отрезку принадлежат концы $x = -3$, $x = -1$ и критическая точка $x = -2$ (точка $x = 1$ не принадлежит отрезку).

Вычислим значения функции в этих точках:

$f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 12(-3) + 1 = 2(-27) + 3(9) + 36 + 1 = -54 + 27 + 36 + 1 = 10$.

$f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) + 1 = 2(-8) + 3(4) + 24 + 1 = -16 + 12 + 24 + 1 = 21$.

$f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 12(-1) + 1 = 2(-1) + 3(1) + 12 + 1 = -2 + 3 + 12 + 1 = 14$.

Среди значений $\{10, 21, 14\}$ наименьшее равно 10, а наибольшее равно 21.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = 10$, наибольшее значение $f_{наиб} = 21$.

б) $x \in [0; 2]$

Данному отрезку принадлежат концы $x = 0$, $x = 2$ и критическая точка $x = 1$ (точка $x = -2$ не принадлежит отрезку).

Вычислим значения функции в этих точках:

$f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 12(0) + 1 = 1$.

$f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 1 = 2 + 3 - 12 + 1 = -6$.

$f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 2(8) + 3(4) - 24 + 1 = 16 + 12 - 24 + 1 = 5$.

Среди значений $\{1, -6, 5\}$ наименьшее равно -6, а наибольшее равно 5.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = -6$, наибольшее значение $f_{наиб} = 5$.

в) $x \in [-3; 3]$

Данному отрезку принадлежат концы $x = -3$, $x = 3$ и обе критические точки $x = -2$ и $x = 1$.

Вычислим значения функции в этих точках. Значения для $f(-3)$, $f(-2)$ и $f(1)$ уже известны из предыдущих пунктов.

$f(-3) = 10$.

$f(-2) = 21$.

$f(1) = -6$.

Осталось вычислить значение в точке $x = 3$:

$f(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 12(3) + 1 = 2(27) + 3(9) - 36 + 1 = 54 + 27 - 36 + 1 = 46$.

Среди значений $\{10, 21, -6, 46\}$ наименьшее равно -6, а наибольшее равно 46.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = -6$, наибольшее значение $f_{наиб} = 46$.