Номер 1, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (1) Для каждой из следующих функций определите наибольшее и наименьшее значения на отрезке $x \in [1;4]$:

а) $f(x) = -x^2 + 4x - 3$;

б) $g(x) = -x^2 - 4x - 3$;

в) $h(x) = x^2 + 4x - 3$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на замкнутом отрезке $[a, b]$ используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $f'(x)$.

2. Найти стационарные (критические) точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат отрезку $[a, b]$.

4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка, то есть в точках $a$ и $b$.

5. Сравнить полученные значения. Наибольшее из них будет наибольшим значением функции на отрезке, а наименьшее — наименьшим.

а) $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ на отрезке $[1; 4]$

1. Находим производную функции: $f'(x) = (-x^2 + 4x - 3)' = -2x + 4$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
$-2x + 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$.

3. Критическая точка $x = 2$ принадлежит отрезку $[1; 4]$.

4. Вычисляем значения функции в точке $x=2$ и на концах отрезка $x=1$ и $x=4$:
$f(1) = -(1)^2 + 4(1) - 3 = -1 + 4 - 3 = 0$
$f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$
$f(4) = -(4)^2 + 4(4) - 3 = -16 + 16 - 3 = -3$.

5. Сравниваем полученные значения: $0$, $1$, $-3$. Наибольшее значение равно $1$, наименьшее равно $-3$.
Ответ: Наибольшее значение функции $f_{наиб.} = f(2) = 1$, наименьшее значение функции $f_{наим.} = f(4) = -3$.

б) $g(x) = -x^2 - 4x - 3$ на отрезке $[1; 4]$

1. Находим производную функции: $g'(x) = (-x^2 - 4x - 3)' = -2x - 4$.

2. Находим критические точки:
$-2x - 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$.

3. Критическая точка $x = -2$ не принадлежит отрезку $[1; 4]$. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка $x=1$ и $x=4$:
$g(1) = -(1)^2 - 4(1) - 3 = -1 - 4 - 3 = -8$
$g(4) = -(4)^2 - 4(4) - 3 = -16 - 16 - 3 = -35$.

5. Сравниваем полученные значения: $-8$ и $-35$. Наибольшее значение равно $-8$, наименьшее равно $-35$.
Ответ: Наибольшее значение функции $g_{наиб.} = g(1) = -8$, наименьшее значение функции $g_{наим.} = g(4) = -35$.

в) $h(x) = x^2 + 4x - 3$ на отрезке $[1; 4]$

1. Находим производную функции: $h'(x) = (x^2 + 4x - 3)' = 2x + 4$.

2. Находим критические точки:
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$.

3. Критическая точка $x = -2$ не принадлежит отрезку $[1; 4]$. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка $x=1$ и $x=4$:
$h(1) = (1)^2 + 4(1) - 3 = 1 + 4 - 3 = 2$
$h(4) = (4)^2 + 4(4) - 3 = 16 + 16 - 3 = 29$.

5. Сравниваем полученные значения: $2$ и $29$. Наибольшее значение равно $29$, наименьшее равно $2$.
Ответ: Наибольшее значение функции $h_{наиб.} = h(4) = 29$, наименьшее значение функции $h_{наим.} = h(1) = 2$.