Номер 27, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

27. (2) Из набора чисел 1 2 3 ... 19 вычеркнуты все четные числа, а также все такие числа x, что $ 19-x \vdots 3 $. Сколько осталось чисел?

Для решения задачи последовательно выполним все условия.

1. Исходный набор чисел.
Нам дан набор натуральных чисел от 1 до 19: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}. Всего в наборе 19 чисел.

2. Вычеркиваем четные числа.
Первое условие — вычеркнуть все четные числа. В нашем наборе это: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.
После их удаления у нас остается набор нечетных чисел: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}. Теперь в наборе 10 чисел.

3. Вычеркиваем числа по второму условию.
Второе условие — вычеркнуть все числа $x$, для которых разность $19 - x$ делится на 3. Это можно записать с помощью сравнения по модулю: $19 - x \equiv 0 \pmod{3}$.
Поскольку число 19 при делении на 3 дает в остатке 1 ($19 = 3 \cdot 6 + 1$), то $19 \equiv 1 \pmod{3}$.
Подставив это в наше сравнение, получим: $1 - x \equiv 0 \pmod{3}$, что равносильно $x \equiv 1 \pmod{3}$.
Следовательно, нам нужно вычеркнуть все числа, которые при делении на 3 дают в остатке 1.

4. Применяем второе условие к оставшимся числам.
Теперь мы должны применить это правило к набору, который у нас остался после первого шага, то есть к набору нечетных чисел: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}.
Проверим каждое из этих чисел:
• 1: $1 \div 3$ дает остаток 1. Вычеркиваем.
• 3: $3 \div 3$ дает остаток 0. Оставляем.
• 5: $5 \div 3$ дает остаток 2. Оставляем.
• 7: $7 \div 3$ дает остаток 1. Вычеркиваем.
• 9: $9 \div 3$ дает остаток 0. Оставляем.
• 11: $11 \div 3$ дает остаток 2. Оставляем.
• 13: $13 \div 3$ дает остаток 1. Вычеркиваем.
• 15: $15 \div 3$ дает остаток 0. Оставляем.
• 17: $17 \div 3$ дает остаток 2. Оставляем.
• 19: $19 \div 3$ дает остаток 1. Вычеркиваем.
Таким образом, по второму правилу мы вычеркиваем числа: {1, 7, 13, 19}.

5. Подводим итог.
Из набора нечетных чисел {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} мы убрали {1, 7, 13, 19}.
В результате остались числа: {3, 5, 9, 11, 15, 17}.
Посчитаем количество оставшихся чисел — их 6.

Ответ: 6