Номер 2, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=2 \sin x + \cos 2x$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 2\sin x + \cos 2x$ преобразуем ее, используя тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = 2\sin x + (1 - 2\sin^2 x)$

$y = -2\sin^2 x + 2\sin x + 1$

Теперь введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то новая переменная $t$ будет принимать значения из этого же отрезка: $t \in [-1, 1]$.

После замены функция примет вид:

$y(t) = -2t^2 + 2t + 1$

Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $y(t)$ на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком функции $y(t) = -2t^2 + 2t + 1$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $t^2$ отрицательный ($-2 < 0$). Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.

Найдем координату вершины параболы $t_0$ по формуле $t_0 = -b / (2a)$:

$t_0 = -2 / (2 \cdot (-2)) = -2 / (-4) = 1/2$

Поскольку значение $t_0 = 1/2$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться именно в этой точке.

Вычислим наибольшее значение функции, подставив $t_0 = 1/2$ в $y(t)$:

$y_{наиб} = y(1/2) = -2(1/2)^2 + 2(1/2) + 1 = -2(1/4) + 1 + 1 = -1/2 + 2 = 3/2$

Наименьшее значение параболы с ветвями, направленными вниз, на заданном отрезке достигается на одном из его концов. Найдем значения функции на концах отрезка $[-1, 1]$:

При $t = -1$:

$y(-1) = -2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -2(1) - 2 + 1 = -2 - 2 + 1 = -3$

При $t = 1$:

$y(1) = -2(1)^2 + 2(1) + 1 = -2(1) + 2 + 1 = -2 + 2 + 1 = 1$

Сравнивая полученные значения $y(-1)=-3$ и $y(1)=1$, заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-3$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $3/2$, наименьшее значение равно $-3$.