Страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=3x^4+4x^3+1$ на отрезке $x \in \left[-2; -\frac{1}{2}\right]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 3x^4 + 4x^3 + 1$ на отрезке $x \in [-2; -\frac{1}{2}]$ необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Нахождение производной.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (3x^4 + 4x^3 + 1)' = 12x^3 + 12x^2$.

2. Нахождение критических точек.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$12x^3 + 12x^2 = 0$
$12x^2(x + 1) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

3. Проверка принадлежности критических точек отрезку.
Проверим, какие из найденных точек принадлежат отрезку $[-2; -\frac{1}{2}]$.
Точка $x = -1$ принадлежит отрезку, так как $-2 \le -1 \le -\frac{1}{2}$.
Точка $x = 0$ не принадлежит отрезку.

4. Вычисление значений функции.
Вычислим значения функции в точке $x = -1$ и на концах отрезка $x = -2$ и $x = -\frac{1}{2}$.
$f(-2) = 3(-2)^4 + 4(-2)^3 + 1 = 3(16) + 4(-8) + 1 = 48 - 32 + 1 = 17$.
$f(-1) = 3(-1)^4 + 4(-1)^3 + 1 = 3(1) + 4(-1) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0$.
$f(-\frac{1}{2}) = 3(-\frac{1}{2})^4 + 4(-\frac{1}{2})^3 + 1 = 3(\frac{1}{16}) + 4(-\frac{1}{8}) + 1 = \frac{3}{16} - \frac{8}{16} + \frac{16}{16} = \frac{11}{16}$.

5. Сравнение значений и вывод.
Сравниваем полученные значения: $f(-2)=17$, $f(-1)=0$ и $f(-\frac{1}{2})=\frac{11}{16}$.
Наибольшее значение функции на отрезке: $\max(17, 0, \frac{11}{16}) = 17$.
Наименьшее значение функции на отрезке: $\min(17, 0, \frac{11}{16}) = 0$.

Ответ: наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[-2; -\frac{1}{2}]$ равно 17, а наименьшее значение равно 0.

Упражнение 2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=2 \sin x + \cos 2x$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 2\sin x + \cos 2x$ преобразуем ее, используя тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = 2\sin x + (1 - 2\sin^2 x)$

$y = -2\sin^2 x + 2\sin x + 1$

Теперь введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то новая переменная $t$ будет принимать значения из этого же отрезка: $t \in [-1, 1]$.

После замены функция примет вид:

$y(t) = -2t^2 + 2t + 1$

Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $y(t)$ на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком функции $y(t) = -2t^2 + 2t + 1$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $t^2$ отрицательный ($-2 < 0$). Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.

Найдем координату вершины параболы $t_0$ по формуле $t_0 = -b / (2a)$:

$t_0 = -2 / (2 \cdot (-2)) = -2 / (-4) = 1/2$

Поскольку значение $t_0 = 1/2$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться именно в этой точке.

Вычислим наибольшее значение функции, подставив $t_0 = 1/2$ в $y(t)$:

$y_{наиб} = y(1/2) = -2(1/2)^2 + 2(1/2) + 1 = -2(1/4) + 1 + 1 = -1/2 + 2 = 3/2$

Наименьшее значение параболы с ветвями, направленными вниз, на заданном отрезке достигается на одном из его концов. Найдем значения функции на концах отрезка $[-1, 1]$:

При $t = -1$:

$y(-1) = -2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -2(1) - 2 + 1 = -2 - 2 + 1 = -3$

При $t = 1$:

$y(1) = -2(1)^2 + 2(1) + 1 = -2(1) + 2 + 1 = -2 + 2 + 1 = 1$

Сравнивая полученные значения $y(-1)=-3$ и $y(1)=1$, заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-3$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $3/2$, наименьшее значение равно $-3$.

Упражнение 3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=4x^3-x|x-2|$ на отрезке $x \in [0;3]$.

Перейдем к рассмотрению упражнений.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 4x^3 - x|x-2|$ на отрезке $[0; 3]$, необходимо сначала раскрыть модуль. Выражение под знаком модуля, $x-2$, меняет знак в точке $x=2$. Эта точка принадлежит нашему отрезку $[0; 3]$, поэтому мы рассмотрим два случая.

1. На отрезке $x \in [0; 2]$

На этом отрезке выражение $x-2 \le 0$, поэтому $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
Функция принимает вид:
$f(x) = 4x^3 - x(2-x) = 4x^3 - 2x + x^2 = 4x^3 + x^2 - 2x$.
Найдем производную этой функции, чтобы найти критические точки:
$f'(x) = (4x^3 + x^2 - 2x)' = 12x^2 + 2x - 2$.
Приравняем производную к нулю и найдем корни уравнения:
$12x^2 + 2x - 2 = 0$
$6x^2 + x - 1 = 0$
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm 5}{12}$.
$x_1 = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.
Отрезку $[0; 2]$ принадлежит только корень $x_1 = 1/3$. Это первая критическая точка.

2. На отрезке $x \in [2; 3]$

На этом отрезке выражение $x-2 \ge 0$, поэтому $|x-2| = x-2$.
Функция принимает вид:
$f(x) = 4x^3 - x(x-2) = 4x^3 - x^2 + 2x$.
Найдем производную:
$f'(x) = (4x^3 - x^2 + 2x)' = 12x^2 - 2x + 2$.
Приравняем производную к нулю:
$12x^2 - 2x + 2 = 0$
$6x^2 - x + 1 = 0$
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 1 - 24 = -23$.
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($6 > 0$), производная $f'(x)$ всегда положительна на этом отрезке, а значит, функция на отрезке $[2; 3]$ монотонно возрастает. Критических точек внутри этого интервала нет.

3. Вычисление значений функции

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[0; 3]$ нужно вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на концах отрезка. Такими точками являются $x=0$, $x=1/3$, $x=2$ (точка "излома" графика) и $x=3$.
$f(0) = 4(0)^3 - 0|0-2| = 0$.
$f(1/3) = 4(1/3)^3 + (1/3)^2 - 2(1/3) = 4/27 + 1/9 - 2/3 = 4/27 + 3/27 - 18/27 = -11/27$.
$f(2) = 4(2)^3 - 2|2-2| = 4 \cdot 8 - 0 = 32$.
$f(3) = 4(3)^3 - 3|3-2| = 4 \cdot 27 - 3 \cdot 1 = 108 - 3 = 105$.
Сравним полученные значения: $0$, $-11/27$, $32$, $105$.
Наибольшее значение равно $105$.
Наименьшее значение равно $-11/27$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $[0; 3]$ равно $105$, а наименьшее значение равно $-11/27$.