Страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Найти: $ \arccos \frac{1}{2} $, $ \arccos 0 $, $ \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) $, $ \arccos 1 $, $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

arccos $\frac{1}{2}$: По определению, арккосинус числа $a$ (обозначается $arccos(a)$) — это значение угла $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $cos(\alpha) = a$. В данном случае нам нужно найти угол $\alpha \in [0; \pi]$ такой, что $cos(\alpha) = \frac{1}{2}$. Согласно таблице основных тригонометрических значений, $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит требуемому промежутку $[0; \pi]$, следовательно, он и является решением.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

arccos 0: Необходимо найти угол $\alpha \in [0; \pi]$ такой, что $cos(\alpha) = 0$. Общее решение уравнения $cos(\alpha) = 0$ имеет вид $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число. Из всех этих решений промежутку $[0; \pi]$ принадлежит только значение $\frac{\pi}{2}$ (при $k=0$).
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

arccos($-\frac{1}{2}$): Для нахождения арккосинуса отрицательного аргумента можно воспользоваться свойством: $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$. Применим его: $arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2})$. Значение $arccos(\frac{1}{2})$ мы нашли в первом пункте, оно равно $\frac{\pi}{3}$. Подставляем это значение: $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

arccos 1: Ищем угол $\alpha \in [0; \pi]$, для которого $cos(\alpha) = 1$. Общее решение уравнения $cos(\alpha) = 1$ дается формулой $\alpha = 2\pi k$, где $k$ – любое целое число. В заданный промежуток $[0; \pi]$ попадает только значение $0$ (при $k=0$).
Ответ: $0$.

arccos($-\frac{\sqrt{2}}{2}$): Снова используем свойство $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$. В этом случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем: $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Из таблицы значений известно, что $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и так как $\frac{\pi}{4} \in [0; \pi]$, то $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$. Подставляем и вычисляем: $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.