Страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

15. (3) На рисунке 6 изображен график производной $f'(x)$ функции $f(x)$, $D(f):(-5;6)$.

а) Укажите критические точки функции $f(x)$.

Рис. 6

б) Укажите интервалы монотонности функции $f(x)$.

в) Укажите точки локальных экстремумов функции $f(x)$.

а) Укажите критические точки функции f(x).

Критическими точками функции $f(x)$ называются внутренние точки области определения, в которых ее производная $f'(x)$ равна нулю или не существует. На изображении представлен график производной $f'(x)$, которая определена на всем интервале $D(f):(-5;6)$. Следовательно, критическими точками будут те значения $x$, для которых выполняется условие $f'(x) = 0$.

На графике видно, что производная $f'(x)$ пересекает ось абсцисс (то есть равна нулю) в точках: $x = -4$, $x = -1$, $x = 2$ и $x = 5$.

Ответ: критические точки функции $f(x)$ это $x = -4$, $x = -1$, $x = 2$, $x = 5$.

б) Укажите интервалы монотонности функции f(x).

Интервалы монотонности функции $f(x)$ определяются знаком её производной $f'(x)$.

1. Функция $f(x)$ возрастает на тех интервалах, где её производная положительна ($f'(x) > 0$). По графику видно, что $f'(x)$ больше нуля (график расположен выше оси $Ox$) на интервалах $(-4; -1)$ и $(2; 5)$.

2. Функция $f(x)$ убывает на тех интервалах, где её производная отрицательна ($f'(x) < 0$). По графику видно, что $f'(x)$ меньше нуля (график расположен ниже оси $Ox$) на интервалах $(-5; -4)$, $(-1; 2)$ и $(5; 6)$.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(-4; -1)$ и $(2; 5)$; функция убывает на интервалах $(-5; -4)$, $(-1; 2)$ и $(5; 6)$.

в) Укажите точки локальных экстремумов функции f(x).

Точки локальных экстремумов (максимумов и минимумов) функции $f(x)$ находятся среди её критических точек. Для определения типа экстремума необходимо проанализировать, как меняется знак производной $f'(x)$ при переходе через критическую точку.

1. Точка локального минимума: производная $f'(x)$ меняет знак с минуса на плюс. Такое изменение знака происходит в точках $x = -4$ (знак меняется с $-$ на $+$) и $x = 2$ (знак меняется с $-$ на $+$).

2. Точка локального максимума: производная $f'(x)$ меняет знак с плюса на минус. Такое изменение знака происходит в точках $x = -1$ (знак меняется с $+$ на $-$) и $x = 5$ (знак меняется с $+$ на $-$).

Ответ: точки локального минимума: $x = -4$, $x = 2$; точки локального максимума: $x = -1$, $x = 5$.

16. (2) а) Дан квадратный трехчлен $y=-3x^2+4x+1$. Найдите точку экстремума и значение трехчлена в точке экстремума.

б) Используя достаточный признак экстремума, докажите следующее утверждение: «Если $a<0$, то квадратный трехчлен $y=ax^2+bx+c$ принимает свое наибольшее значение в точке $x_0=-\frac{b}{2a}$. Наибольшее значение квадратного трехчлена равно $y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}$».

а) Для нахождения точки экстремума квадратного трехчлена $y = -3x^2 + 4x + 1$ нужно найти точку, в которой его производная равна нулю. Это необходимое условие экстремума.

Найдем первую производную функции $y(x)$ по переменной $x$:

$y'(x) = (-3x^2 + 4x + 1)' = -3 \cdot (x^2)' + 4 \cdot (x)' + (1)' = -3 \cdot 2x + 4 \cdot 1 + 0 = -6x + 4$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти координату точки экстремума $x_0$:

$-6x_0 + 4 = 0$

$6x_0 = 4$

$x_0 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Это точка экстремума. Чтобы определить, является ли она точкой максимума или минимума, найдем вторую производную:

$y''(x) = (-6x + 4)' = -6$.

Поскольку вторая производная $y'' = -6 < 0$, точка $x_0 = \frac{2}{3}$ является точкой максимума. Это и есть экстремум функции.

Теперь найдем значение трехчлена в этой точке (значение экстремума), подставив $x_0 = \frac{2}{3}$ в исходное уравнение:

$y_0 = y(\frac{2}{3}) = -3(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) + 1 = -3(\frac{4}{9}) + \frac{8}{3} + 1 = -\frac{12}{9} + \frac{8}{3} + 1 = -\frac{4}{3} + \frac{8}{3} + \frac{3}{3} = \frac{-4+8+3}{3} = \frac{7}{3}$.

Ответ: Точка экстремума $x_0 = \frac{2}{3}$, значение трехчлена в точке экстремума $y_0 = \frac{7}{3}$.

б) Чтобы доказать утверждение для квадратного трехчлена $y(x) = ax^2 + bx + c$ при условии $a < 0$, воспользуемся достаточным признаком экстремума на основе производных.

1. Найдем стационарную точку функции. Для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю:

$y'(x) = (ax^2 + bx + c)' = 2ax + b$.

Решим уравнение $y'(x_0) = 0$:

$2ax_0 + b = 0 \implies 2ax_0 = -b \implies x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Это единственная стационарная точка функции.

2. Проверим знак второй производной в этой точке, чтобы определить тип экстремума. Это и есть достаточный признак.

$y''(x) = (2ax + b)' = 2a$.

По условию задачи, коэффициент $a < 0$. Следовательно, вторая производная $y''(x) = 2a$ также будет отрицательной ($y'' < 0$) для любого значения $x$, включая $x_0$.

Согласно достаточному признаку экстремума, если в стационарной точке $x_0$ вторая производная функции отрицательна, то эта точка является точкой локального максимума. Для параболы, которой является график квадратного трехчлена, локальный экстремум является единственным и, следовательно, глобальным. Таким образом, в точке $x_0 = -\frac{b}{2a}$ функция достигает своего наибольшего значения.

3. Найдем это наибольшее значение $y_0$, подставив координату $x_0$ в исходное выражение для $y$:

$y_0 = y(x_0) = a(x_0)^2 + b(x_0) + c = a(-\frac{b}{2a})^2 + b(-\frac{b}{2a}) + c$.

Упростим выражение:

$y_0 = a(\frac{b^2}{4a^2}) - \frac{b^2}{2a} + c = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c$.

Приведем дроби к общему знаменателю $4a$:

$y_0 = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a}$.

Таким образом, мы доказали, что при $a < 0$ квадратный трехчлен $y=ax^2+bx+c$ принимает свое наибольшее значение в точке $x_0 = -\frac{b}{2a}$, и это значение равно $y_0 = \frac{4ac-b^2}{4a}$.

Ответ: Утверждение доказано.

17. (1) Для каждой из следующих функций определите критические точки. Из всех найденных критических точек выделите точки экстремума. В каждой из точек экстремума найдите значение функции:

a) $f(x)=-x^3-5x^2-3x+1;$

б) $f(x)=-10x^3-5x^2-3x+1;$

в) $f(x)=-x^3-5x^2-\frac{25}{3}x+1.$

а) $f(x) = -x^3 - 5x^2 - 3x + 1$

1. Для нахождения критических точек необходимо найти производную функции. Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для многочлена производная существует всегда.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 - 5x^2 - 3x + 1) = -3x^2 - 10x - 3$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки (которые являются критическими):

$-3x^2 - 10x - 3 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$3x^2 + 10x + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 8}{6}$.

Получаем две критические точки:

$x_1 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

$x_2 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

3. Теперь определим, являются ли эти критические точки точками экстремума. Для этого используем вторую производную:

$f''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 - 10x - 3) = -6x - 10$.

Подставим значения критических точек в $f''(x)$:

Для $x = -3$: $f''(-3) = -6(-3) - 10 = 18 - 10 = 8$. Поскольку $f''(-3) > 0$, в точке $x = -3$ находится локальный минимум.

Для $x = -1/3$: $f''(-1/3) = -6(-\frac{1}{3}) - 10 = 2 - 10 = -8$. Поскольку $f''(-1/3) < 0$, в точке $x = -1/3$ находится локальный максимум.

Таким образом, обе критические точки являются точками экстремума.

4. Найдем значения функции в этих точках экстремума:

Значение в точке минимума $x = -3$:

$f(-3) = -(-3)^3 - 5(-3)^2 - 3(-3) + 1 = 27 - 5(9) + 9 + 1 = 27 - 45 + 10 = -8$.

Значение в точке максимума $x = -1/3$:

$f(-1/3) = -(-\frac{1}{3})^3 - 5(-\frac{1}{3})^2 - 3(-\frac{1}{3}) + 1 = \frac{1}{27} - 5(\frac{1}{9}) + 1 + 1 = \frac{1}{27} - \frac{15}{27} + \frac{54}{27} = \frac{40}{27}$.

Ответ: Критические точки: $x=-3$ и $x=-1/3$. Точка минимума $x=-3$, значение функции в этой точке $f(-3)=-8$. Точка максимума $x=-1/3$, значение функции в этой точке $f(-1/3)=\frac{40}{27}$.

б) $f(x) = -10x^3 - 5x^2 - 3x + 1$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(-10x^3 - 5x^2 - 3x + 1) = -30x^2 - 10x - 3$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$-30x^2 - 10x - 3 = 0$

$30x^2 + 10x + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 30 \cdot 3 = 100 - 360 = -260$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение $f'(x) = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что у функции нет стационарных точек.

3. Так как производная $f'(x) = -30x^2 - 10x - 3$ определена для всех $x$ и нигде не равна нулю, у функции нет критических точек, а следовательно, и нет точек экстремума.

Ответ: Критических точек и точек экстремума нет.

в) $f(x) = -x^3 - 5x^2 - \frac{25}{3}x + 1$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 - 5x^2 - \frac{25}{3}x + 1) = -3x^2 - 10x - \frac{25}{3}$.

2. Приравняем производную к нулю:

$-3x^2 - 10x - \frac{25}{3} = 0$

Умножим уравнение на -3, чтобы избавиться от дроби и знака минус:

$9x^2 + 30x + 25 = 0$

Это уравнение является полным квадратом, так как $9x^2 = (3x)^2$, $25 = 5^2$ и $30x = 2 \cdot (3x) \cdot 5$.

$(3x + 5)^2 = 0$

Решая это уравнение, получаем одну критическую точку:

$3x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{3}$.

3. Определим, является ли $x = -5/3$ точкой экстремума. Проанализируем знак производной $f'(x) = -3x^2 - 10x - \frac{25}{3} = -\frac{1}{3}(9x^2 + 30x + 25) = -\frac{1}{3}(3x+5)^2$.

Выражение $(3x+5)^2$ всегда неотрицательно (равно нулю только при $x = -5/3$ и положительно в остальных случаях). Из-за множителя $-1/3$ производная $f'(x)$ всегда неположительна ($f'(x) \leq 0$).

Поскольку производная не меняет знак при переходе через точку $x = -5/3$ (она отрицательна как слева, так и справа от этой точки), точка $x = -5/3$ не является точкой экстремума. Это точка перегиба.

Ответ: Критическая точка: $x=-5/3$. Точек экстремума нет.

18. (2) Найдите точки экстремума функции $y = -x^3 - 9x^2 - 3x + 100$ на интервале $\left(-6; -\frac{1}{5}\right)$.

Для нахождения точек экстремума функции на заданном интервале необходимо найти ее производную, приравнять производную к нулю для нахождения критических точек, а затем проверить, какие из этих точек принадлежат заданному интервалу.

Дана функция $y = -x^3 - 9x^2 - 3x + 100$.

1. Находим производную функции: $y' = (-x^3 - 9x^2 - 3x + 100)' = -3x^2 - 18x - 3$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю: $-3x^2 - 18x - 3 = 0$.
Разделим обе части уравнения на $-3$:
$x^2 + 6x + 1 = 0$.

3. Решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$.
$\sqrt{D} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.
Корни уравнения (критические точки):
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
Критические точки: $x_1 = -3 - 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -3 + 2\sqrt{2}$.

4. Проверяем, принадлежат ли найденные точки интервалу $(-6; -\frac{1}{5})$.
Переведем правую границу интервала в десятичную дробь: $-\frac{1}{5} = -0.2$. Интервал: $(-6; -0.2)$.
Оценим значение $x_1 = -3 - 2\sqrt{2}$. Приближенно $\sqrt{2} \approx 1.414$.
$x_1 \approx -3 - 2(1.414) = -3 - 2.828 = -5.828$.
Значение $-5.828$ находится внутри интервала $(-6; -0.2)$, так как $-6 < -5.828 < -0.2$. Следовательно, точка $x_1 = -3 - 2\sqrt{2}$ является точкой экстремума на данном интервале.

Оценим значение $x_2 = -3 + 2\sqrt{2}$.
$x_2 \approx -3 + 2(1.414) = -3 + 2.828 = -0.172$.
Значение $-0.172$ не входит в интервал $(-6; -0.2)$, так как $-0.172 > -0.2$.

Таким образом, на заданном интервале есть только одна точка экстремума. Это точка $x = -3 - 2\sqrt{2}$. При переходе через эту точку производная $y' = -3x^2 - 18x - 3$ меняет знак с минуса на плюс (так как это парабола с ветвями вниз), следовательно, это точка минимума.

Ответ: $-3 - 2\sqrt{2}$.