Страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

3. (2)

Постройте график функции $y = \operatorname{tg}x \cdot \cos x$.

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg}x \cdot \cos x$ выполним анализ и преобразование функции.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)
Исходная функция содержит $\operatorname{tg}x$, который определяется как отношение $\frac{\sin x}{\cos x}$. Так как деление на ноль не определено, знаменатель $\cos x$ не должен быть равен нулю.Найдем значения $x$, при которых $\cos x = 0$:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).
Следовательно, область определения нашей функции — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

2. Упрощение функции
На всей области определения, где $\cos x \neq 0$, мы можем упростить исходное выражение:
$y = \operatorname{tg}x \cdot \cos x = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot \cos x = \sin x$.
Это означает, что график функции $y = \operatorname{tg}x \cdot \cos x$ совпадает с графиком функции $y = \sin x$ во всех точках, кроме тех, которые были исключены из ОДЗ.

3. Построение графика и определение "выколотых" точек
График функции представляет собой синусоиду $y = \sin x$, на которой есть "проколы" (выколотые точки) в местах, где $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Чтобы найти координаты этих точек, нужно подставить их абсциссы в упрощенное уравнение $y = \sin x$:
$y = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right)$.
В зависимости от четности $k$, значение $y$ будет равно 1 или -1.
Рассмотрим несколько примеров:
- если $k=0$, то $x = \frac{\pi}{2}$, а $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Координаты выколотой точки: $(\frac{\pi}{2}, 1)$.
- если $k=1$, то $x = \frac{3\pi}{2}$, а $y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Координаты выколотой точки: $(\frac{3\pi}{2}, -1)$.
- если $k=-1$, то $x = -\frac{\pi}{2}$, а $y = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Координаты выколотой точки: $(-\frac{\pi}{2}, -1)$.
- если $k=-2$, то $x = -\frac{3\pi}{2}$, а $y = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$. Координаты выколотой точки: $(-\frac{3\pi}{2}, 1)$.
Таким образом, для построения графика нужно нарисовать синусоиду $y = \sin x$ и отметить на ней пустыми кружочками точки ее локальных максимумов и минимумов.

Ответ: Графиком функции $y = \operatorname{tg}x \cdot \cos x$ является график функции $y = \sin x$ с выколотыми точками, координаты которых $(\frac{\pi}{2} + \pi k, (-1)^k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

4. (2) Как известно, график функции $y=-\operatorname{tg} x$ получается из графика функции $y=\operatorname{tg} x$ преобразованием P5 (см. Глава 3, п. 4.2). С другой стороны, график функции $y=\operatorname{tg}(-x)$ получается из графика функции $y=\operatorname{tg} x$ преобразованием P6. Объясните, почему в обоих случаях получается один и тот же график.

Вопрос состоит в том, чтобы объяснить, почему два разных геометрических преобразования графика функции $y=\operatorname{tg}x$ приводят к одному и тому же результату.

Преобразование P5: $y = -\operatorname{tg}x$

График функции $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). В нашем случае, для получения графика $y = -\operatorname{tg}x$ из графика $y = \operatorname{tg}x$, мы должны отразить каждую точку графика $y = \operatorname{tg}x$ относительно оси Ox.

Преобразование P6: $y = \operatorname{tg}(-x)$

График функции $y = f(-x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси ординат (оси Oy). Таким образом, для получения графика $y = \operatorname{tg}(-x)$ из графика $y = \operatorname{tg}x$, мы должны отразить каждую точку графика $y = \operatorname{tg}x$ относительно оси Oy.

Объяснение совпадения графиков

Два графика совпадают, если функции, которые они представляют, тождественно равны. Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $-\operatorname{tg}x = \operatorname{tg}(-x)$.

Это равенство является прямым следствием свойства нечетности функции тангенс. Функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Функция $y = \operatorname{tg}x$ является нечетной, так как:
$\operatorname{tg}(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}$

Поскольку синус — функция нечетная ($\sin(-x) = -\sin x$), а косинус — функция четная ($\cos(-x) = \cos x$), мы получаем:

$\operatorname{tg}(-x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\operatorname{tg}x$

Таким образом, тождество $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}x$ доказано. Это означает, что функции $y = \operatorname{tg}(-x)$ и $y = -\operatorname{tg}x$ — это одна и та же функция. Следовательно, их графики полностью совпадают.

Ответ: В обоих случаях получается один и тот же график, потому что функция тангенс является нечетной. Для нечетной функции по определению выполняется тождество $f(-x) = -f(x)$. В данном случае это означает, что $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}x$. Таким образом, функции $y = \operatorname{tg}(-x)$ и $y = -\operatorname{tg}x$ являются одной и той же функцией, и их графики совпадают. Геометрически это означает, что для графика нечетной функции (каковым является тангенс) симметрия относительно оси ординат (преобразование P6) эквивалентна симметрии относительно оси абсцисс (преобразование P5).

5. a) (2) Дана возрастающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, каждое из которых принадлежит отрезку $[8\pi; 9\pi]$. Возрастающей или убывающей является последовательность чисел $\cos x_1, \cos x_2, \cos x_3, \dots, \cos x_n$?

б) (2) Дана возрастающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, каждое из которых принадлежит отрезку $[-9\pi; -8\pi]$. Что можно сказать о монотонности последовательности $\sin x_1, \sin x_2, \sin x_3, \dots, \sin x_n$?

в) (2) Дана убывающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, каждое из которых принадлежит отрезку $[-9\pi; -8\pi]$. Что можно сказать о монотонности последовательности $\operatorname{ctg} x_1, \operatorname{ctg} x_2, \operatorname{ctg} x_3, \dots, \operatorname{ctg} x_n$?

а)

Дана возрастающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, такая что $x_1 < x_2 < x_3 < \dots < x_n$. Каждое из этих чисел принадлежит отрезку $[8\pi; 9\pi]$. Чтобы определить характер монотонности последовательности $\cos x_n$, нужно проанализировать поведение функции $y = \cos(x)$ на отрезке $[8\pi; 9\pi]$.
Функция косинуса имеет период $2\pi$. Поэтому ее поведение на отрезке $[8\pi; 9\pi]$ будет таким же, как на отрезке $[8\pi - 8\pi; 9\pi - 8\pi] = [0; \pi]$.
На отрезке $[0; \pi]$ функция $y = \cos(x)$ является монотонно убывающей (ее значение изменяется от $\cos(0)=1$ до $\cos(\pi)=-1$).
Поскольку функция $y = \cos(x)$ убывает на отрезке $[8\pi; 9\pi]$, а последовательность аргументов $x_n$ возрастает, то для любых двух последовательных членов $x_k < x_{k+1}$ будет выполняться неравенство $\cos(x_k) > \cos(x_{k+1})$.
Следовательно, последовательность $\cos x_1, \cos x_2, \cos x_3, \dots, \cos x_n$ является убывающей.
Ответ: Последовательность является убывающей.

б)

Дана возрастающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, такая что $x_1 < x_2 < x_3 < \dots < x_n$. Каждое из этих чисел принадлежит отрезку $[-9\pi; -8\pi]$. Чтобы определить характер монотонности последовательности $\sin x_n$, нужно проанализировать поведение функции $y = \sin(x)$ на отрезке $[-9\pi; -8\pi]$.
Функция синуса имеет период $2\pi$. Ее поведение на отрезке $[-9\pi; -8\pi]$ будет таким же, как на отрезке $[-9\pi + 8\pi; -8\pi + 8\pi] = [-\pi; 0]$.
На отрезке $[-\pi; 0]$ функция $y = \sin(x)$ не является монотонной. Она убывает на промежутке $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ (что соответствует отрезку $[-9\pi; -8.5\pi]$) и возрастает на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ (что соответствует отрезку $[-8.5\pi; -8\pi]$).
Так как на заданном отрезке $[-9\pi; -8\pi]$ функция $y=\sin(x)$ не монотонна, то и последовательность $\sin x_1, \sin x_2, \dots, \sin x_n$ в общем случае не будет монотонной. Например, если выбрать $x_1 = -8.6\pi$, $x_2 = -8.5\pi$ и $x_3 = -8.4\pi$, то $x_1 < x_2 < x_3$. При этом $\sin(x_1) > \sin(x_2)$ (так как на этом участке функция убывает), а $\sin(x_2) < \sin(x_3)$ (так как на этом участке функция возрастает). Таким образом, последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.
Ответ: Последовательность в общем случае не является монотонной.

в)

Дана убывающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, такая что $x_1 > x_2 > x_3 > \dots > x_n$. Каждое из этих чисел принадлежит отрезку $[-9\pi; -8\pi]$. Чтобы определить характер монотонности последовательности $\text{ctg } x_n$, нужно проанализировать поведение функции $y = \text{ctg}(x)$ на интервале $(-9\pi; -8\pi)$ (концы отрезка исключаем, так как котангенс в точках $k\pi$ не определен).
Функция котангенса имеет период $\pi$. Ее поведение на интервале $(-9\pi; -8\pi)$ будет таким же, как на интервале $(-9\pi + 9\pi; -8\pi + 9\pi) = (0; \pi)$.
На интервале $(0; \pi)$ функция $y = \text{ctg}(x)$ является монотонно убывающей.
Итак, мы применяем монотонно убывающую функцию $y = \text{ctg}(x)$ к монотонно убывающей последовательности аргументов $x_n$.
Для любых двух последовательных членов $x_k > x_{k+1}$, из-за того что функция котангенса убывает на данном интервале, будет выполняться неравенство $\text{ctg}(x_k) < \text{ctg}(x_{k+1})$.
Следовательно, последовательность $\text{ctg } x_1, \text{ctg } x_2, \text{ctg } x_3, \dots, \text{ctg } x_n$ является возрастающей.
Ответ: Последовательность является возрастающей.

6. (3) Среди следующих функций определите периодические и укажите их главный период:

a) $f_0(x)=\sin 4x$, $f_1(x)=x+\sin 4x$, $f_2(x)=\frac{23}{\cos 4x\sin 4x}$, $f_3(x)=|\sin x|$;

б) $g_0(x)=45\cos \left(0,5x+\frac{\pi}{4}\right)$, $g_1(x)=-5\cos \left(0,5\pi x+\frac{\pi}{5}\right)$,

$g_2(x)=\cos^2 x$, $g_3(x)=x\cos 5x$;

в) $h_0(x)=\frac{2}{3}\text{tg}^2 x$; $h_1(x)=\frac{2\text{tg}2x}{1-\text{tg}^2 2x}$, $h_2(x)=\frac{4}{x}-\text{tg}3x$.

а)
Рассмотрим каждую функцию:
1. Функция $f_0(x)=\sin(4x)$. Это периодическая функция. Основной период функции $\sin(t)$ равен $2\pi$. Для функции вида $\sin(kx)$ основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=4$, поэтому главный период $T_0 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
2. Функция $f_1(x)=x+\sin(4x)$. Эта функция является суммой линейной функции $y=x$ (которая не является периодической) и периодической функции $y=\sin(4x)$. Сумма периодической и непериодической функции является непериодической. Если предположить, что функция периодична с периодом $T \neq 0$, то должно выполняться равенство $f_1(x+T)=f_1(x)$. То есть, $(x+T)+\sin(4(x+T)) = x+\sin(4x)$. Отсюда $T = \sin(4x) - \sin(4x+4T)$. Правая часть этого равенства зависит от $x$, в то время как левая часть ($T$) является константой. Это возможно только если правая часть также является константой, что неверно. Следовательно, функция не является периодической.
3. Функция $f_2(x)=\frac{23}{\cos(4x)\sin(4x)}$. Используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$. Тогда знаменатель можно преобразовать: $\cos(4x)\sin(4x) = \frac{1}{2}\sin(8x)$. Таким образом, $f_2(x) = \frac{23}{\frac{1}{2}\sin(8x)} = \frac{46}{\sin(8x)}$. Функция $\sin(8x)$ является периодической с главным периодом $T = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, и функция $f_2(x)$ периодическая с тем же главным периодом $T_2 = \frac{\pi}{4}$.
4. Функция $f_3(x)=|\sin x|$. Функция $\sin x$ имеет основной период $2\pi$. Проверим период функции $f_3(x)$: $f_3(x+\pi) = |\sin(x+\pi)| = |-\sin x| = |\sin x| = f_3(x)$. Значит, $\pi$ является периодом. Это наименьший положительный период, так как если предположить существование периода $T \in (0, \pi)$, то для $x=0$ должно выполняться $|\sin(0+T)|=|\sin 0|$, что дает $|\sin T|=0$. Это означает, что $T$ должно быть кратно $\pi$, что противоречит условию $T \in (0, \pi)$. Значит, главный период $T_3 = \pi$.
Ответ: Периодические функции: $f_0(x)=\sin(4x)$ с главным периодом $T_0=\frac{\pi}{2}$; $f_2(x)=\frac{23}{\cos(4x)\sin(4x)}$ с главным периодом $T_2=\frac{\pi}{4}$; $f_3(x)=|\sin x|$ с главным периодом $T_3=\pi$. Непериодическая функция: $f_1(x)=x+\sin(4x)$.

б)
Рассмотрим каждую функцию:
1. Функция $g_0(x)=45\cos(0,5x+\frac{\pi}{4})$. Это периодическая функция. Основной период функции $\cos t$ равен $2\pi$. Для функции вида $\cos(kx+b)$ основной период $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=0,5$, поэтому главный период $T_0 = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi$.
2. Функция $g_1(x)=-5\cos(0,5\pi x+\frac{\pi}{5})$. Аналогично предыдущему пункту, это периодическая функция. Здесь коэффициент при $x$ равен $k=0,5\pi$, поэтому главный период $T_1 = \frac{2\pi}{|0.5\pi|} = \frac{2}{0.5} = 4$.
3. Функция $g_2(x)=\cos^2 x$. Используем формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$. Функция $g_2(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$ является периодической. Ее период определяется периодом функции $\cos(2x)$, который равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Следовательно, главный период $T_2 = \pi$.
4. Функция $g_3(x)=x\cos(5x)$. Эта функция является произведением непериодической функции $y=x$ и периодической функции $y=\cos(5x)$. Такая функция не является периодической. Если предположить, что она периодична с периодом $T \neq 0$, то $(x+T)\cos(5(x+T))=x\cos(5x)$ для всех $x$. При $x=0$ получаем $T\cos(5T)=0$. При $x=\frac{\pi}{10}$ (где $\cos(5x)=0$), получаем $(\frac{\pi}{10}+T)\cos(5(\frac{\pi}{10}+T))=0$, что равносильно $-(\frac{\pi}{10}+T)\sin(5T)=0$. Для $T$, не равного $0$ или $-\frac{\pi}{10}$, из этих двух условий следует, что $\cos(5T)=0$ и $\sin(5T)=0$, что невозможно одновременно, так как $\sin^2(5T)+\cos^2(5T)=1$. Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: Периодические функции: $g_0(x)=45\cos(0,5x+\frac{\pi}{4})$ с главным периодом $T_0=4\pi$; $g_1(x)=-5\cos(0,5\pi x+\frac{\pi}{5})$ с главным периодом $T_1=4$; $g_2(x)=\cos^2 x$ с главным периодом $T_2=\pi$. Непериодическая функция: $g_3(x)=x\cos(5x)$.

в)
Рассмотрим каждую функцию:
1. Функция $h_0(x)=\frac{2}{3}\operatorname{tg}(\frac{2}{3}x)$. Это периодическая функция. Основной период функции $\operatorname{tg}(t)$ равен $\pi$. Для функции вида $\operatorname{tg}(kx)$ основной период $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $k=\frac{2}{3}$, поэтому главный период $T_0 = \frac{\pi}{2/3} = \frac{3\pi}{2}$.
2. Функция $h_1(x)=\frac{2\operatorname{tg}(2x)}{1-\operatorname{tg}^2(2x)}$. Используем формулу тангенса двойного угла $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}(\alpha)}{1-\operatorname{tg}^2(\alpha)}$. Положив $\alpha=2x$, получаем $h_1(x)=\operatorname{tg}(2 \cdot 2x) = \operatorname{tg}(4x)$. Это периодическая функция с главным периодом $T_1 = \frac{\pi}{4}$.
3. Функция $h_2(x)=\frac{4}{x}-\operatorname{tg}(3x)$. Эта функция является разностью непериодической функции $y=\frac{4}{x}$ (стремится к 0 при $x \to \infty$) и периодической функции $y=\operatorname{tg}(3x)$ (с периодом $\frac{\pi}{3}$). Сумма или разность периодической и непериодической функции является непериодической. Если предположить, что функция периодична с периодом $T$, то этот период должен быть кратен периоду слагаемого $\operatorname{tg}(3x)$, то есть $T=n\frac{\pi}{3}$ для некоторого целого $n \neq 0$. Тогда $\operatorname{tg}(3(x+T))=\operatorname{tg}(3x+3n\frac{\pi}{3})=\operatorname{tg}(3x+n\pi)=\operatorname{tg}(3x)$. Из равенства $h_2(x+T)=h_2(x)$ следует $\frac{4}{x+T}-\operatorname{tg}(3(x+T)) = \frac{4}{x}-\operatorname{tg}(3x)$, то есть $\frac{4}{x+T}-\operatorname{tg}(3x) = \frac{4}{x}-\operatorname{tg}(3x)$. Отсюда $\frac{4}{x+T}=\frac{4}{x}$, что влечет $x+T=x$, а значит $T=0$. Это противоречит определению периода ($T \neq 0$). Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: Периодические функции: $h_0(x)=\frac{2}{3}\operatorname{tg}(\frac{2}{3}x)$ с главным периодом $T_0=\frac{3\pi}{2}$; $h_1(x)=\frac{2\operatorname{tg}(2x)}{1-\operatorname{tg}^2(2x)}$ с главным периодом $T_1=\frac{\pi}{4}$. Непериодическая функция: $h_2(x)=\frac{4}{x}-\operatorname{tg}(3x)$.

7. (3) Для следующих функций определите один из периодов, по возможности, наименьший:

a) $f(x)=\cos 7x+\sin 2x-4;$

б) $g(x)=12\operatorname{tg}\frac{3}{4}x-15\operatorname{ctg}\frac{12}{5}x;$

в) $h(x)=\operatorname{tg} 1,2x \cdot \sin 1,4x.$

а) $f(x) = \cos(7x) + \sin(2x) - 4$

Для нахождения наименьшего положительного периода функции $f(x)$, которая является суммой двух периодических функций и константы, мы должны найти периоды каждого слагаемого.

1. Период функции вида $\cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для слагаемого $\cos(7x)$ наименьший положительный период $T_1$ равен:
$T_1 = \frac{2\pi}{7}$.

2. Период функции вида $\sin(kx)$ также находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для слагаемого $\sin(2x)$ наименьший положительный период $T_2$ равен:
$T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Слагаемое $-4$ является константой, которая не влияет на периодичность функции.

Наименьший положительный период суммы двух периодических функций (если их отношение периодов рационально) равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{2\pi}{7}, \pi)$.

Для нахождения НОК дробей с $\pi$ используем правило для рациональных чисел $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$: $\text{НОК}(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}) = \frac{\text{НОК}(a, c)}{\text{НОД}(b, d)}$.
В нашем случае это $\text{НОК}(\frac{2\pi}{7}, \frac{\pi}{1})$.
$T = \pi \cdot \text{НОК}(\frac{2}{7}, 1) = \pi \cdot \frac{\text{НОК}(2, 1)}{\text{НОД}(7, 1)} = \pi \cdot \frac{2}{1} = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

б) $g(x) = 12\text{tg}\frac{3}{4}x - 15\text{ctg}\frac{12}{5}x$

Функция $g(x)$ является разностью двух периодических функций. Найдем их наименьшие положительные периоды.

1. Период функций вида $\text{tg}(kx)$ и $\text{ctg}(kx)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для функции $12\text{tg}(\frac{3}{4}x)$ наименьший положительный период $T_1$ равен:
$T_1 = \frac{\pi}{|\frac{3}{4}|} = \frac{4\pi}{3}$.

2. Для функции $15\text{ctg}(\frac{12}{5}x)$ наименьший положительный период $T_2$ равен:
$T_2 = \frac{\pi}{|\frac{12}{5}|} = \frac{5\pi}{12}$.

Наименьший положительный период разности двух периодических функций равен НОК их периодов.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{12})$.

Используем правило для нахождения НОК:
$T = \pi \cdot \text{НОК}(\frac{4}{3}, \frac{5}{12}) = \pi \cdot \frac{\text{НОК}(4, 5)}{\text{НОД}(3, 12)} = \pi \cdot \frac{20}{3} = \frac{20\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{20\pi}{3}$.

в) $h(x) = \text{tg}\,1,2x \cdot \sin\,1,4x$

Функция $h(x)$ является произведением двух периодических функций. Найдем их наименьшие положительные периоды.

1. Для функции $\text{tg}(1,2x) = \text{tg}(\frac{6}{5}x)$ наименьший положительный период $T_1$ равен:
$T_1 = \frac{\pi}{|1,2|} = \frac{\pi}{6/5} = \frac{5\pi}{6}$.

2. Для функции $\sin(1,4x) = \sin(\frac{7}{5}x)$ наименьший положительный период $T_2$ равен:
$T_2 = \frac{2\pi}{|1,4|} = \frac{2\pi}{7/5} = \frac{10\pi}{7}$.

Период произведения двух периодических функций равен НОК их периодов (в большинстве случаев, включая этот, это будет наименьший положительный период).
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{5\pi}{6}, \frac{10\pi}{7})$.

Используем правило для нахождения НОК:
$T = \pi \cdot \text{НОК}(\frac{5}{6}, \frac{10}{7}) = \pi \cdot \frac{\text{НОК}(5, 10)}{\text{НОД}(6, 7)} = \pi \cdot \frac{10}{1} = 10\pi$.
Ответ: $10\pi$.

8. (2) Каждую из следующих функций исследуйте на четность:

а) $f_1(x)=\cos3x$, $f_2(x)=x^3 \cos3x$, $f_3(x)=x^3-\cos3x$, $f_4(x)=\frac{x^3}{\sin3x}$,

$f_5(x)=\cos\left(3x-\frac{\pi}{2}\right)$;

б) $g_1(x)=5x^3-\operatorname{ctg}x+\operatorname{tg}x^3$, $g_2(x)=\sin^2 5x$,

$g_3(x)=\frac{3}{2+\sin^2 5x}$, $g_4(x)=\sin\sqrt{x}$.

Для исследования функции на четность необходимо проверить два условия:
1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат, то есть если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$.
2. Должно выполняться одно из равенств:
- $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — функция является четной.
- $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — функция является нечетной.
Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной (функцией общего вида).

Для функции $f_1(x) = \cos(3x)$.
Область определения $D(f_1) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f_1(-x) = \cos(3(-x)) = \cos(-3x)$. Так как функция косинус является четной, то есть $\cos(-u) = \cos(u)$, получаем $f_1(-x) = \cos(3x) = f_1(x)$. Поскольку $f_1(-x) = f_1(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

Для функции $f_2(x) = x^3 \cos(3x)$.
Область определения $D(f_2) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем $f_2(-x)$: $f_2(-x) = (-x)^3 \cos(3(-x)) = -x^3 \cos(3x) = -f_2(x)$. Функция является произведением нечетной функции ($x^3$) и четной функции ($\cos(3x)$), результат — нечетная функция. Поскольку $f_2(-x) = -f_2(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

Для функции $f_3(x) = x^3 - \cos(3x)$.
Область определения $D(f_3) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем $f_3(-x)$: $f_3(-x) = (-x)^3 - \cos(3(-x)) = -x^3 - \cos(3x)$. Сравним результат с $f_3(x)$ и $-f_3(x)$: $f_3(-x) \neq f_3(x) = x^3 - \cos(3x)$. $f_3(-x) \neq -f_3(x) = -(x^3 - \cos(3x)) = -x^3 + \cos(3x)$. Функция является разностью нечетной и четной функций, поэтому она не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

Для функции $f_4(x) = \frac{x^3}{\sin(3x)}$.
Область определения $D(f_4)$ задается условием $\sin(3x) \neq 0$, то есть $3x \neq \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi k}{3}$ для $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно нуля. Найдем $f_4(-x)$: $f_4(-x) = \frac{(-x)^3}{\sin(3(-x))} = \frac{-x^3}{-\sin(3x)} = \frac{x^3}{\sin(3x)} = f_4(x)$. Функция является частным двух нечетных функций ($x^3$ и $\sin(3x)$), результат — четная функция. Поскольку $f_4(-x) = f_4(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

Для функции $f_5(x) = \cos\left(3x - \frac{\pi}{2}\right)$.
Область определения $D(f_5) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Используя формулу приведения $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\alpha)$, преобразуем функцию: $f_5(x) = \sin(3x)$. Исследуем на четность полученную функцию: $f_5(-x) = \sin(3(-x)) = \sin(-3x) = -\sin(3x) = -f_5(x)$. Поскольку $f_5(-x) = -f_5(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

Для функции $g_1(x) = 5x^3 - \operatorname{ctg}x + \operatorname{tg}^3x$.
Область определения $D(g_1)$ задается условиями $\sin(x) \neq 0$ и $\cos(x) \neq 0$, что равносильно $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для $k \in \mathbb{Z}$. Область симметрична относительно нуля. Функция является суммой трех нечетных функций: $5x^3$ (нечетная), $-\operatorname{ctg}x$ (нечетная, так как $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}x$) и $\operatorname{tg}^3x$ (нечетная, как нечетная степень нечетной функции $\operatorname{tg}x$). Сумма нечетных функций есть функция нечетная. Проверим: $g_1(-x) = 5(-x)^3 - \operatorname{ctg}(-x) + (\operatorname{tg}(-x))^3 = -5x^3 - (-\operatorname{ctg}x) + (-\operatorname{tg}x)^3 = -5x^3 + \operatorname{ctg}x - \operatorname{tg}^3x = -(5x^3 - \operatorname{ctg}x + \operatorname{tg}^3x) = -g_1(x)$. Поскольку $g_1(-x) = -g_1(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

Для функции $g_2(x) = \sin^2(5x)$.
Область определения $D(g_2) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем $g_2(-x)$: $g_2(-x) = \sin^2(5(-x)) = (\sin(-5x))^2 = (-\sin(5x))^2 = \sin^2(5x) = g_2(x)$. Поскольку $g_2(-x) = g_2(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

Для функции $g_3(x) = \frac{3}{2 + \sin^2(5x)}$.
Область определения $D(g_3) = (-\infty; +\infty)$, так как знаменатель $2 + \sin^2(5x) > 0$ при любых $x$. Область симметрична относительно нуля. Найдем $g_3(-x)$: $g_3(-x) = \frac{3}{2 + \sin^2(5(-x))} = \frac{3}{2 + (\sin(-5x))^2} = \frac{3}{2 + (-\sin(5x))^2} = \frac{3}{2 + \sin^2(5x)} = g_3(x)$. Поскольку $g_3(-x) = g_3(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

Для функции $g_4(x) = \sin\sqrt{x}$.
Область определения функции задается условием подкоренного выражения: $x \ge 0$. Таким образом, $D(g_4) = [0; +\infty)$. Эта область определения не является симметричной относительно начала координат (например, $1 \in D(g_4)$, а $-1 \notin D(g_4)$). Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

29. (2)

Велосипедист каждую минуту проезжает на 500 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 120 км он затрачивает времени на 2 часа больше, чем мотоциклист. Вычислите скорость велосипедиста.

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение.

Пусть $v_в$ — скорость велосипедиста, а $v_м$ — скорость мотоциклиста. Расстояние $S = 120$ км.

Из условия известно, что велосипедист каждую минуту проезжает на 500 м меньше, чем мотоциклист. Выразим эту разницу в км/ч.

500 метров — это 0,5 км.1 минута — это $\frac{1}{60}$ часа.Следовательно, разница в скорости составляет 0,5 км за $\frac{1}{60}$ часа. Чтобы найти разницу в км/ч, нужно умножить расстояние на 60:

$v_м - v_в = 0.5 \text{ км} \times 60 = 30 \text{ км/ч}$

Отсюда скорость мотоциклиста: $v_м = v_в + 30$.

Время, которое велосипедист тратит на путь в 120 км, равно $t_в = \frac{S}{v_в} = \frac{120}{v_в}$.

Время, которое мотоциклист тратит на тот же путь, равно $t_м = \frac{S}{v_м} = \frac{120}{v_в + 30}$.

По условию, велосипедист затрачивает на 2 часа больше, чем мотоциклист, то есть $t_в - t_м = 2$. Составим и решим уравнение:

$\frac{120}{v_в} - \frac{120}{v_в + 30} = 2$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{120(v_в + 30) - 120v_в}{v_в(v_в + 30)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{120v_в + 3600 - 120v_в}{v_в^2 + 30v_в} = 2$

$\frac{3600}{v_в^2 + 30v_в} = 2$

$3600 = 2(v_в^2 + 30v_в)$

Разделим обе части на 2:

$1800 = v_в^2 + 30v_в$

Получаем квадратное уравнение:

$v_в^2 + 30v_в - 1800 = 0$

Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 900 + 7200 = 8100$

$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$

Найдем корни уравнения:

$(v_в)_1 = \frac{-30 + 90}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30$

$(v_в)_2 = \frac{-30 - 90}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень -60 нам не подходит. Следовательно, скорость велосипедиста равна 30 км/ч.

Ответ: 30 км/ч.

30. (2) Решите систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{6}{x+y} + \frac{5}{x-y} = 7, \\ \frac{3}{x+y} - \frac{2}{x-y} = -1. \end{cases}$

Данная система уравнений решается методом введения новых переменных. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x+y \neq 0$ и $x-y \neq 0$.

Введем новые переменные: пусть $a = \frac{1}{x+y}$ и $b = \frac{1}{x-y}$. Тогда исходная система уравнений примет следующий вид:

$\begin{cases}6a + 5b = 7 \\3a - 2b = -1\end{cases}$

Решим полученную систему линейных уравнений относительно $a$ и $b$ методом алгебраического сложения. Для этого умножим второе уравнение системы на 2, чтобы коэффициенты при переменной $a$ стали равными.

$2 \cdot (3a - 2b) = 2 \cdot (-1) \implies 6a - 4b = -2$.

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases}6a + 5b = 7 \\6a - 4b = -2\end{cases}$

Вычтем из первого уравнения второе:

$(6a + 5b) - (6a - 4b) = 7 - (-2)$

$9b = 9$

$b = 1$

Подставим найденное значение $b=1$ в уравнение $3a - 2b = -1$:

$3a - 2(1) = -1$

$3a = 2 - 1$

$3a = 1$

$a = \frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$\begin{cases}\frac{1}{x+y} = a \\\frac{1}{x-y} = b\end{cases}\implies\begin{cases}\frac{1}{x+y} = \frac{1}{3} \\\frac{1}{x-y} = 1\end{cases}$

Из этого следует новая, более простая система:

$\begin{cases}x+y = 3 \\x-y = 1\end{cases}$

Сложим уравнения этой системы:

$(x+y) + (x-y) = 3 + 1$

$2x = 4$

$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение $x+y = 3$:

$2 + y = 3$

$y = 1$

Полученное решение $(2; 1)$ удовлетворяет ОДЗ, так как $x+y=3 \neq 0$ и $x-y=1 \neq 0$.

Ответ: $(2; 1)$