Номер 3, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=4x^3-x|x-2|$ на отрезке $x \in [0;3]$.

Перейдем к рассмотрению упражнений.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 4x^3 - x|x-2|$ на отрезке $[0; 3]$, необходимо сначала раскрыть модуль. Выражение под знаком модуля, $x-2$, меняет знак в точке $x=2$. Эта точка принадлежит нашему отрезку $[0; 3]$, поэтому мы рассмотрим два случая.

1. На отрезке $x \in [0; 2]$

На этом отрезке выражение $x-2 \le 0$, поэтому $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
Функция принимает вид:
$f(x) = 4x^3 - x(2-x) = 4x^3 - 2x + x^2 = 4x^3 + x^2 - 2x$.
Найдем производную этой функции, чтобы найти критические точки:
$f'(x) = (4x^3 + x^2 - 2x)' = 12x^2 + 2x - 2$.
Приравняем производную к нулю и найдем корни уравнения:
$12x^2 + 2x - 2 = 0$
$6x^2 + x - 1 = 0$
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm 5}{12}$.
$x_1 = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.
Отрезку $[0; 2]$ принадлежит только корень $x_1 = 1/3$. Это первая критическая точка.

2. На отрезке $x \in [2; 3]$

На этом отрезке выражение $x-2 \ge 0$, поэтому $|x-2| = x-2$.
Функция принимает вид:
$f(x) = 4x^3 - x(x-2) = 4x^3 - x^2 + 2x$.
Найдем производную:
$f'(x) = (4x^3 - x^2 + 2x)' = 12x^2 - 2x + 2$.
Приравняем производную к нулю:
$12x^2 - 2x + 2 = 0$
$6x^2 - x + 1 = 0$
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 1 - 24 = -23$.
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($6 > 0$), производная $f'(x)$ всегда положительна на этом отрезке, а значит, функция на отрезке $[2; 3]$ монотонно возрастает. Критических точек внутри этого интервала нет.

3. Вычисление значений функции

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[0; 3]$ нужно вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на концах отрезка. Такими точками являются $x=0$, $x=1/3$, $x=2$ (точка "излома" графика) и $x=3$.
$f(0) = 4(0)^3 - 0|0-2| = 0$.
$f(1/3) = 4(1/3)^3 + (1/3)^2 - 2(1/3) = 4/27 + 1/9 - 2/3 = 4/27 + 3/27 - 18/27 = -11/27$.
$f(2) = 4(2)^3 - 2|2-2| = 4 \cdot 8 - 0 = 32$.
$f(3) = 4(3)^3 - 3|3-2| = 4 \cdot 27 - 3 \cdot 1 = 108 - 3 = 105$.
Сравним полученные значения: $0$, $-11/27$, $32$, $105$.
Наибольшее значение равно $105$.
Наименьшее значение равно $-11/27$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $[0; 3]$ равно $105$, а наименьшее значение равно $-11/27$.