Номер 7, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (3) Найдите все значения $x$, для каждого из которых функция $f(x)=-2\cos 2x+3\sqrt{3}\cos x-7\sin^2 x$ принимает наименьшее значение.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых функция $f(x) = -2\cos2x + 3\sqrt{3}\cos x - 7\sin^2 x$ принимает наименьшее значение, необходимо преобразовать данное выражение, приведя его к функции от одной тригонометрической переменной. Целесообразно выразить все через $\cos x$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos2x = 2\cos^2 x - 1$ и основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим эти выражения в исходную функцию:

$f(x) = -2(2\cos^2 x - 1) + 3\sqrt{3}\cos x - 7(1 - \cos^2 x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f(x) = -4\cos^2 x + 2 + 3\sqrt{3}\cos x - 7 + 7\cos^2 x$

$f(x) = (-4 + 7)\cos^2 x + 3\sqrt{3}\cos x + (2 - 7)$

$f(x) = 3\cos^2 x + 3\sqrt{3}\cos x - 5$

Теперь задача сводится к нахождению наименьшего значения полученного выражения. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Поскольку область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, то и для переменной $t$ справедливо ограничение $t \in [-1, 1]$.

Мы получили квадратичную функцию от $t$: $g(t) = 3t^2 + 3\sqrt{3}t - 5$. Нам нужно найти ее наименьшее значение на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 3 > 0$. Следовательно, свое наименьшее значение на всей числовой прямой парабола принимает в своей вершине.

Найдем координату вершины параболы по оси абсцисс:

$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь проверим, принадлежит ли найденная точка $t_0$ отрезку $[-1, 1]$.

Значение $\sqrt{3} \approx 1.732$, поэтому $-\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$.

Так как $-1 \le -0.866 \le 1$, то точка $t_0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и ее вершина лежит на рассматриваемом отрезке, наименьшее значение функции $g(t)$ на этом отрезке достигается именно в вершине, то есть при $t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Возвращаемся к исходной переменной $x$. Наименьшее значение функции $f(x)$ будет достигаться при тех значениях $x$, для которых выполняется равенство:

$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение:

$x = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Так как $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$, получаем общее решение:

$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.