Номер 13, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (2) Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках:

а) $f(x)=-4x^4+2x^2+5, x \in [0;2];$

б) $g(x)=(x+2)^2(1-x)^3, x \in [-3;-1].$

а) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = -4x^4 + 2x^2 + 5$ на отрезке $[0; 2]$, нужно вычислить значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, которые ему принадлежат.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (-4x^4 + 2x^2 + 5)' = -16x^3 + 4x$

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$-16x^3 + 4x = 0$

$4x(-4x^2 + 1) = 0$

Отсюда получаем три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{2}$, $x_3 = -\frac{1}{2}$.

3. Определяем, какие из критических точек попадают в заданный отрезок $[0; 2]$.

Точки $x=0$ и $x=\frac{1}{2}$ принадлежат отрезку $[0; 2]$. Точка $x=-\frac{1}{2}$ не принадлежит этому отрезку.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка ($x=0$ и $x=2$) и в принадлежащей ему критической точке ($x=\frac{1}{2}$):

$f(0) = -4(0)^4 + 2(0)^2 + 5 = 5$

$f(\frac{1}{2}) = -4(\frac{1}{2})^4 + 2(\frac{1}{2})^2 + 5 = -4 \cdot \frac{1}{16} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 5 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 5 = 5.25$

$f(2) = -4(2)^4 + 2(2)^2 + 5 = -4 \cdot 16 + 2 \cdot 4 + 5 = -64 + 8 + 5 = -51$

5. Сравниваем полученные значения: $5$, $5.25$ и $-51$. Наибольшее из них $5.25$, а наименьшее $-51$.

Ответ: Наибольшее значение: $5.25$; Наименьшее значение: $-51$.

б) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $g(x) = (x+2)^2(1-x)^3$ на отрезке $[-3; -1]$, используем тот же алгоритм.

1. Находим производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$g'(x) = ((x+2)^2)'(1-x)^3 + (x+2)^2((1-x)^3)'$

$g'(x) = 2(x+2)(1-x)^3 + (x+2)^2 \cdot 3(1-x)^2 \cdot (-1) = 2(x+2)(1-x)^3 - 3(x+2)^2(1-x)^2$

Вынесем общий множитель $(x+2)(1-x)^2$ за скобки:

$g'(x) = (x+2)(1-x)^2 [2(1-x) - 3(x+2)] = (x+2)(1-x)^2 [2 - 2x - 3x - 6] = (x+2)(1-x)^2(-5x-4)$

2. Находим критические точки из уравнения $g'(x)=0$:

$(x+2)(1-x)^2(-5x-4) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = -\frac{4}{5} = -0.8$.

3. Определяем, какие из критических точек принадлежат отрезку $[-3; -1]$.

Только точка $x=-2$ принадлежит этому отрезку. Точки $x=1$ и $x=-0.8$ не принадлежат.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка ($x=-3$ и $x=-1$) и в критической точке $x=-2$:

$g(-3) = (-3+2)^2(1-(-3))^3 = (-1)^2 \cdot 4^3 = 1 \cdot 64 = 64$

$g(-2) = (-2+2)^2(1-(-2))^3 = 0^2 \cdot 3^3 = 0$

$g(-1) = (-1+2)^2(1-(-1))^3 = 1^2 \cdot 2^3 = 1 \cdot 8 = 8$

5. Сравниваем полученные значения: $64$, $0$ и $8$. Наибольшее из них $64$, а наименьшее $0$.

Ответ: Наибольшее значение: $64$; Наименьшее значение: $0$.