Номер 17, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17. (3)

Найдите все значения $x$, для каждого из которых функция $f(x)=3\cos 2x-4\sin x+2\sin^2 x+100$ принимает наибольшее значение.

Для нахождения всех значений $x$, при которых функция $f(x) = 3\cos2x - 4\sin x + 2\sin^2 x + 100$ принимает наибольшее значение, мы преобразуем данное выражение, чтобы оно зависело только от одной тригонометрической функции.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos2x = 1 - 2\sin^2 x$. Подставим это выражение в исходную функцию:

$f(x) = 3(1 - 2\sin^2 x) - 4\sin x + 2\sin^2 x + 100$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f(x) = 3 - 6\sin^2 x - 4\sin x + 2\sin^2 x + 100 = -4\sin^2 x - 4\sin x + 103$

Чтобы найти наибольшее значение этой функции, введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений синуса $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего значения квадратичной функции $g(t) = -4t^2 - 4t + 103$ на отрезке $t \in [-1, 1]$.

Графиком функции $g(t)$ является парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент при $t^2$ отрицателен ($-4 < 0$). Следовательно, свое наибольшее значение такая парабола принимает в вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы $t_0$ по формуле $t_0 = -\frac{b}{2a}$:

$t_0 = -\frac{-4}{2 \cdot (-4)} = -\frac{-4}{-8} = -\frac{1}{2}$

Значение $t_0 = -1/2$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, на котором мы рассматриваем функцию. Это означает, что наибольшее значение функции $g(t)$ на этом отрезке достигается именно в вершине, то есть при $t = -1/2$.

Следовательно, исходная функция $f(x)$ принимает свое наибольшее значение тогда, когда $\sin x = -1/2$.

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Решениями являются две серии значений $x$:

$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.