Номер 22, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

22. Решите методом интервалов:

(1) а) $ \frac{3}{2x-1} > 0 $

(2) б) $ \frac{9-x^2}{3x+1} \ge \frac{2}{x} $

(3) в) $ x \ge \frac{25}{1-x} - 9 $. В ответе укажите наименьшее решение.

а) $\frac{3}{2x-1} > 0$

• Числитель (3) всегда положителен.
• Следовательно, знак дроби зависит только от знаменателя: $2x - 1 > 0$.
• $2x > 1 \implies x > 0,5$.

Ответ: $x \in (0,5; +\infty)$.

б) $\frac{9-x^2}{3x+1} \ge \frac{2}{x}$

• Перенесем всё в левую часть: $\frac{9-x^2}{3x+1} - \frac{2}{x} \ge 0$.
• Приведем к общему знаменателю: $\frac{x(9-x^2) - 2(3x+1)}{x(3x+1)} \ge 0 \implies \frac{9x - x^3 - 6x - 2}{x(3x+1)} \ge 0$.
• Упростим числитель: $\frac{-x^3 + 3x - 2}{x(3x+1)} \ge 0$. Умножим на -1 (сменив знак): $\frac{x^3 - 3x + 2}{x(3x+1)} \le 0$.
• Разложим числитель на множители. Заметим, что $x=1$ — корень: $(x-1)^2(x+2)$.
• Неравенство: $\frac{(x-1)^2(x+2)}{x(3x+1)} \le 0$.
• Нули и точки разрыва: $x=1$ (кратность 2), $x=-2$, $x=0$, $x=-1/3$.
• Методом интервалов наносим на ось: $[-2; -1/3)$ и $(0; 1]$. Также точка $x=1$ является решением.

Ответ: $x \in [-2; -1/3) \cup (0; 1]$.

в) $x \ge \frac{25}{1-x} - 9$

• Перенесем всё влево: $x + 9 - \frac{25}{1-x} \ge 0$.
• Приведем к знаменателю $(1-x)$: $\frac{(x+9)(1-x) - 25}{1-x} \ge 0$.
• $\frac{x - x^2 + 9 - 9x - 25}{1-x} \ge 0 \implies \frac{-x^2 - 8x - 16}{1-x} \ge 0$.
• Умножим числитель на -1 (сменив знак): $\frac{x^2 + 8x + 16}{1-x} \le 0 \implies \frac{(x+4)^2}{1-x} \le 0$.
• Точки: $x=-4$ (корень числителя) и $x=1$ (разрыв).
• При $x < 1$ знаменатель положителен. Значит, числитель $(x+4)^2$ должен быть $\le 0$. Это верно только при $x = -4$.
• При $x > 1$ знаменатель отрицателен, тогда $\frac{\text{положительное}}{\text{отрицательное}} \le 0$, что всегда верно.
• Решения: $x = -4$ и $x \in (1; +\infty)$.
• Наименьшее решение: $-4$.

Ответ: -4.