Номер 4, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 4

Корабль стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега. С корабля можно послать матроса в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу, от ближайшей точки берега (лагерь расположен на берегу). Матрос передвигается по берегу со скоростью 5 км/ч, а на веслах – 4 км/ч. В каком пункте берега он должен причалить, чтобы оказаться в лагере в кратчайшее время?

Для решения этой оптимизационной задачи введем переменные и составим функцию, которую необходимо минимизировать.

Пусть:

• Точка A — ближайшая точка на берегу к кораблю.
• Точка К — местоположение корабля. Расстояние КА = 9 км.
• Точка Л — местоположение лагеря. Расстояние АЛ = 15 км. Берег считаем прямой линией.
• Точка П — точка на берегу, в которой причалит матрос.

Пусть расстояние от точки А до точки П равно $x$ км. Тогда матрос причалит в точке П, находящейся на отрезке АЛ. Расстояние, которое матрос пройдет пешком от точки П до лагеря Л, составит $15 - x$ км. Диапазон возможных значений для $x$ — от 0 до 15, то есть $x \in [0, 15]$.

Путь матроса состоит из двух частей:

1. Путь на веслах от корабля (К) до точки причала (П).
Этот путь является гипотенузой прямоугольного треугольника КАП с катетами КА = 9 км и АП = $x$ км. Длина этого пути $S_1$ по теореме Пифагора равна:
$S_1(x) = \sqrt{9^2 + x^2} = \sqrt{81 + x^2}$ км.
Скорость на веслах $v_1 = 4$ км/ч.
Время, затраченное на этот участок:
$t_1(x) = \frac{S_1}{v_1} = \frac{\sqrt{81 + x^2}}{4}$ ч.

2. Путь пешком от точки причала (П) до лагеря (Л).
Длина этого пути $S_2$ равна:
$S_2(x) = 15 - x$ км.
Скорость пешком $v_2 = 5$ км/ч.
Время, затраченное на этот участок:
$t_2(x) = \frac{S_2}{v_2} = \frac{15 - x}{5}$ ч.

Общее время в пути $T(x)$ является суммой времен $t_1$ и $t_2$:
$T(x) = t_1(x) + t_2(x) = \frac{\sqrt{81 + x^2}}{4} + \frac{15 - x}{5}$

Чтобы найти кратчайшее время, необходимо найти значение $x$, при котором функция $T(x)$ достигает своего минимума на отрезке $[0, 15]$. Для этого найдем производную функции $T(x)$ и приравняем ее к нулю.

$T'(x) = \left( \frac{\sqrt{81 + x^2}}{4} + \frac{15 - x}{5} \right)' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{81 + x^2}} \cdot (2x) - \frac{1}{5} = \frac{x}{4\sqrt{81 + x^2}} - \frac{1}{5}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$T'(x) = 0$
$\frac{x}{4\sqrt{81 + x^2}} - \frac{1}{5} = 0$
$\frac{x}{4\sqrt{81 + x^2}} = \frac{1}{5}$
$5x = 4\sqrt{81 + x^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат (так как $x$ представляет расстояние, оно не может быть отрицательным, $x \ge 0$):
$(5x)^2 = (4\sqrt{81 + x^2})^2$
$25x^2 = 16(81 + x^2)$
$25x^2 = 1296 + 16x^2$
$25x^2 - 16x^2 = 1296$
$9x^2 = 1296$
$x^2 = \frac{1296}{9} = 144$
$x = \sqrt{144} = 12$

Мы нашли критическую точку $x = 12$. Это значение входит в наш интервал $[0, 15]$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно проверить знак производной слева и справа от $x=12$.
При $x < 12$, $T'(x) < 0$ (функция убывает).
При $x > 12$, $T'(x) > 0$ (функция возрастает).
Следовательно, $x=12$ является точкой минимума.
Таким образом, для достижения лагеря в кратчайшее время матрос должен причалить в точке, которая находится на расстоянии 12 км от ближайшей к кораблю точки на берегу (точки А) в сторону лагеря.

Ответ: Матрос должен причалить в точке на берегу, находящейся на расстоянии 12 км от ближайшей к кораблю точки, двигаясь в направлении лагеря.