Номер 6, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6.

(3)a) В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом $60^\circ$ вписан прямоугольник наибольшей площади так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Определите большую из сторон прямоугольника.

(4)б) В прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и углом $\alpha$ вписан прямоугольник так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Определите наибольшую площадь, которую может иметь такой прямоугольник.

а)Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Гипотенуза $AB = c = 8$ см. Пусть один из острых углов, например $\angle A = \alpha = 60^\circ$. Тогда второй острый угол $\angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.В треугольник вписан прямоугольник $DEFG$ наибольшей площади так, что его сторона $DE$ лежит на гипотенузе $AB$, а вершины $G$ и $F$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно.Обозначим стороны прямоугольника: $DE = x$ (длина) и $GD = FE = y$ (высота). Площадь прямоугольника равна $S = xy$.Рассмотрим малые треугольники $ADG$ и $FEB$, которые образуются между катетами и сторонами прямоугольника. Так как $DEFG$ - прямоугольник и $DE$ лежит на гипотенузе, то его высоты $GD$ и $FE$ перпендикулярны гипотенузе $AB$. Следовательно, треугольники $ADG$ и $FEB$ являются прямоугольными.В прямоугольном треугольнике $ADG$: $\angle A = 60^\circ$. Из определения тангенса имеем $\tan(\angle A) = \frac{GD}{AD}$, откуда $AD = \frac{GD}{\tan(\angle A)} = \frac{y}{\tan(60^\circ)} = \frac{y}{\sqrt{3}}$.В прямоугольном треугольнике $FEB$: $\angle B = 30^\circ$. Аналогично, $\tan(\angle B) = \frac{FE}{EB}$, откуда $EB = \frac{FE}{\tan(\angle B)} = \frac{y}{\tan(30^\circ)} = \frac{y}{1/\sqrt{3}} = y\sqrt{3}$.Длина гипотенузы $AB$ складывается из длин отрезков $AD$, $DE$ и $EB$:$AB = AD + DE + EB$.Подставим известные значения и полученные выражения:$8 = \frac{y}{\sqrt{3}} + x + y\sqrt{3}$.Выразим $x$ через $y$:$x = 8 - (\frac{y}{\sqrt{3}} + y\sqrt{3}) = 8 - y(\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}) = 8 - y(\frac{1+3}{\sqrt{3}}) = 8 - \frac{4y}{\sqrt{3}}$.Теперь запишем функцию площади прямоугольника $S$ как функцию от переменной $y$:$S(y) = x \cdot y = (8 - \frac{4y}{\sqrt{3}})y = 8y - \frac{4}{\sqrt{3}}y^2$.Эта функция является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение площади будет в вершине параболы. Координата вершины параболы $y_0 = -\frac{b}{2a}$, где $a = -\frac{4}{\sqrt{3}}$ и $b = 8$.$y = -\frac{8}{2 \cdot (-\frac{4}{\sqrt{3}})} = -\frac{8}{-\frac{8}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$ см.Это одна из сторон прямоугольника (его высота). Найдем вторую сторону $x$ (его длину), подставив найденное значение $y$:$x = 8 - \frac{4y}{\sqrt{3}} = 8 - \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8 - 4 = 4$ см.Таким образом, стороны прямоугольника с наибольшей площадью равны $4$ см и $\sqrt{3}$ см.Сравним эти значения: $4^2 = 16$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$. Поскольку $16 > 3$, то $4 > \sqrt{3}$.Большая из сторон прямоугольника равна 4 см.
Ответ: 4 см.

б)Рассмотрим общий случай. Пусть дан прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и одним из острых углов $\alpha$. Второй острый угол будет равен $90^\circ - \alpha$.Аналогично решению в пункте а), впишем в треугольник прямоугольник со сторонами $x$ (длина) и $y$ (высота), где сторона $x$ лежит на гипотенузе.Используя те же рассуждения, выразим отрезки $AD$ и $EB$ на гипотенузе через высоту прямоугольника $y$ и углы треугольника.$AD = \frac{y}{\tan(\alpha)} = y\cot(\alpha)$.$EB = \frac{y}{\tan(90^\circ - \alpha)} = \frac{y}{\cot(\alpha)} = y\tan(\alpha)$.Длина гипотенузы $c = AD + x + EB = y\cot(\alpha) + x + y\tan(\alpha)$.Выразим $x$ через $y$ и $c$:$x = c - y(\cot(\alpha) + \tan(\alpha))$.Площадь прямоугольника $S$ как функция от $y$:$S(y) = x \cdot y = (c - y(\cot(\alpha) + \tan(\alpha)))y = cy - (\cot(\alpha) + \tan(\alpha))y^2$.Это квадратичная функция от $y$, парабола с ветвями вниз. Максимальное значение достигается в вершине. Найдем значение $y$, при котором площадь максимальна:$y_{max} = -\frac{c}{2 \cdot (-(\cot(\alpha) + \tan(\alpha)))} = \frac{c}{2(\cot(\alpha) + \tan(\alpha))}$.Упростим выражение в знаменателе: $\cot(\alpha) + \tan(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$.Подставим это в выражение для $y_{max}$:$y_{max} = \frac{c}{2 \cdot \frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}} = \frac{c \sin(\alpha)\cos(\alpha)}{2}$.Теперь найдем соответствующее значение $x_{max}$:$x_{max} = c - y_{max}(\cot(\alpha) + \tan(\alpha)) = c - \frac{c}{2(\cot(\alpha) + \tan(\alpha))} \cdot (\cot(\alpha) + \tan(\alpha)) = c - \frac{c}{2} = \frac{c}{2}$.Наибольшая площадь $S_{max}$ равна произведению $x_{max}$ и $y_{max}$:$S_{max} = x_{max} \cdot y_{max} = \frac{c}{2} \cdot \frac{c \sin(\alpha)\cos(\alpha)}{2} = \frac{c^2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)}{4}$.Используя формулу синуса двойного угла, $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, можно записать ответ в более компактном виде:$S_{max} = \frac{c^2}{4} \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{2} = \frac{c^2 \sin(2\alpha)}{8}$.
Ответ: $\frac{c^2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)}{4}$ (или $\frac{c^2 \sin(2\alpha)}{8}$).