Номер 9, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (4) Две точки движутся по осям координат в положительных направлениях с постоянными скоростями $v_1 = 2$ и $v_2 = 1$. В какой момент времени расстояние между двигающимися точками будет наименьшим, если в начальный момент они занимают положения $(-3;0)$ и $(0;-5)$ соответственно?

Пусть $t$ – время, прошедшее с начального момента. Определим координаты каждой точки в момент времени $t$.
Первая точка начинает движение из положения $(-3,0)$ и движется вдоль оси Ox в положительном направлении со скоростью $v_1=2$. Ее координаты в момент времени $t$ будут:
$x_1(t) = -3 + v_1 t = -3 + 2t$
$y_1(t) = 0$
Таким образом, положение первой точки в момент времени $t$ – $P_1(-3 + 2t, 0)$.
Вторая точка начинает движение из положения $(0,-5)$ и движется вдоль оси Oy в положительном направлении со скоростью $v_2=1$. Ее координаты в момент времени $t$ будут:
$x_2(t) = 0$
$y_2(t) = -5 + v_2 t = -5 + t$
Таким образом, положение второй точки в момент времени $t$ – $P_2(0, -5 + t)$.
Расстояние $d$ между двумя точками $P_1(x_1, y_1)$ и $P_2(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Подставим координаты наших точек как функции времени. Для удобства будем работать с квадратом расстояния $d^2$, так как расстояние $d$ будет наименьшим тогда же, когда и его квадрат $d^2$.
$d^2(t) = (x_2(t) - x_1(t))^2 + (y_2(t) - y_1(t))^2$
$d^2(t) = (0 - (-3 + 2t))^2 + ((-5 + t) - 0)^2$
$d^2(t) = (3 - 2t)^2 + (-5 + t)^2$
Раскроем скобки:
$d^2(t) = (9 - 12t + 4t^2) + (25 - 10t + t^2)$
$d^2(t) = 5t^2 - 22t + 34$
Полученное выражение является квадратичной функцией от времени $t$. График этой функции – парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $t^2$ положителен: $5 > 0$). Следовательно, эта функция имеет точку минимума.
Координата вершины параболы $at^2+bt+c$ по оси абсцисс (в нашем случае по оси времени $t$) находится по формуле:
$t_{min} = -\frac{b}{2a}$
В нашем случае $a=5$ и $b=-22$.
$t_{min} = -\frac{-22}{2 \cdot 5} = \frac{22}{10} = 2.2$
Таким образом, расстояние между точками будет наименьшим в момент времени $t=2.2$.
Ответ: $2.2$