Номер 8, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (3) Рассматриваются прямоугольные треугольники $ABC$, у которых вершина $A$ имеет координаты $(-3\frac{1}{2};0)$, вершина $C$ лежит на отрезке $[-1;1]$ оси $Ox$, вершина $B$ лежит на единичной окружности с центром в начале координат, угол $ACB$ прямой. Какую наибольшую площадь может иметь такой треугольник $ABC$?

Обозначим координаты вершин треугольника $ABC$. Согласно условию, вершина $A$ имеет координаты $A(-\frac{7}{2}; 0)$. Вершина $C$ лежит на отрезке $[-1; 1]$ оси $Ox$, следовательно, её координаты $C(c; 0)$, где $-1 \le c \le 1$. Вершина $B$ лежит на единичной окружности с центром в начале координат, поэтому её координаты $B(x_B; y_B)$ удовлетворяют уравнению $x_B^2 + y_B^2 = 1$.

Треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Это означает, что векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ перпендикулярны, и их скалярное произведение равно нулю. Найдем координаты этих векторов: $\vec{CA} = (-\frac{7}{2} - c; 0 - 0) = (-\frac{7}{2} - c; 0)$. $\vec{CB} = (x_B - c; y_B - 0) = (x_B - c; y_B)$.

Скалярное произведение $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$: $(-\frac{7}{2} - c)(x_B - c) + 0 \cdot y_B = 0$, что упрощается до $(-\frac{7}{2} - c)(x_B - c) = 0$. Поскольку $c \in [-1; 1]$, множитель $(-\frac{7}{2} - c)$ не равен нулю. Следовательно, должно выполняться равенство $x_B - c = 0$, откуда $x_B = c$.

Теперь мы знаем, что абсцисса точки $B$ совпадает с абсциссой точки $C$. Подставим $x_B = c$ в уравнение единичной окружности: $c^2 + y_B^2 = 1$. Отсюда $y_B^2 = 1 - c^2$, и $y_B = \pm \sqrt{1 - c^2}$.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине произведения длин его катетов $AC$ и $BC$. Длина катета $AC$ находится как расстояние между точками $A(-\frac{7}{2}; 0)$ и $C(c; 0)$: $AC = |c - (-\frac{7}{2})| = |c + \frac{7}{2}|$. Так как $-1 \le c \le 1$, выражение $c + \frac{7}{2}$ всегда положительно, поэтому $AC = c + \frac{7}{2}$. Длина катета $BC$ находится как расстояние между точками $B(c; y_B)$ и $C(c; 0)$: $BC = \sqrt{(c - c)^2 + (y_B - 0)^2} = \sqrt{y_B^2} = |y_B| = \sqrt{1 - c^2}$.

Запишем площадь треугольника $S$ как функцию от $c$: $S(c) = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} (c + \frac{7}{2}) \sqrt{1 - c^2}$. Нам нужно найти наибольшее значение этой функции на отрезке $c \in [-1; 1]$.

Для нахождения максимума исследуем функцию $S(c)$. Удобнее исследовать на максимум квадрат площади $f(c) = S^2(c)$, так как это избавляет от квадратного корня и не меняет точку максимума. $f(c) = \frac{1}{4} (c + \frac{7}{2})^2 (1 - c^2)$. Найдем производную $f'(c)$ по правилу произведения: $f'(c) = \frac{1}{4} \left[ 2(c + \frac{7}{2}) \cdot (1 - c^2) + (c + \frac{7}{2})^2 \cdot (-2c) \right]$. Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}(c + \frac{7}{2})$: $f'(c) = \frac{1}{2} (c + \frac{7}{2}) \left[ (1 - c^2) - c(c + \frac{7}{2}) \right] = \frac{1}{2} (c + \frac{7}{2}) (1 - c^2 - c^2 - \frac{7}{2}c) = \frac{1}{2} (c + \frac{7}{2}) (-2c^2 - \frac{7}{2}c + 1)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $f'(c) = 0$. Так как множитель $(c + \frac{7}{2})$ не равен нулю на отрезке $[-1; 1]$, приравниваем к нулю второй множитель: $-2c^2 - \frac{7}{2}c + 1 = 0$. Умножим на -2: $4c^2 + 7c - 2 = 0$. Решим это квадратное уравнение: $D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$. $c = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{8} = \frac{-7 \pm 9}{8}$. Корни: $c_1 = \frac{-7 + 9}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ и $c_2 = \frac{-7 - 9}{8} = \frac{-16}{8} = -2$.

Корень $c_2 = -2$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Единственная критическая точка в рассматриваемом интервале — это $c = \frac{1}{4}$. Найдем значения площади $S(c)$ в критической точке и на концах отрезка. На концах отрезка: $S(-1) = \frac{1}{2} (-1 + \frac{7}{2}) \sqrt{1 - (-1)^2} = 0$. $S(1) = \frac{1}{2} (1 + \frac{7}{2}) \sqrt{1 - 1^2} = 0$. В критической точке: $S(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} + \frac{7}{2}) \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \frac{1}{2} (\frac{1+14}{4}) \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4} \cdot \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{15}{8} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{15\sqrt{15}}{32}$.

Сравнивая полученные значения ($0$, $0$ и $\frac{15\sqrt{15}}{32}$), заключаем, что наибольшая площадь треугольника достигается при $c = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{15\sqrt{15}}{32}$.