Номер 13, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (2) а) Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений: длины, ширины и высоты. Найдите наибольший объем прямоугольного параллелепипеда, у которого длина в два раза больше ширины, а сумма трех измерений равна 18.

(3) б) Найдите наибольший объем прямоугольного параллелепипеда, у которого длина в два раза больше ширины, а сумма трех измерений равна $a$.

а) Обозначим ширину прямоугольного параллелепипеда как $x$. Согласно условию, длина в два раза больше ширины, значит, длина равна $2x$. Обозначим высоту как $h$. Сумма трех измерений равна 18, следовательно, мы можем составить уравнение: $x + 2x + h = 18$, что упрощается до $3x + h = 18$. Отсюда выразим высоту через $x$: $h = 18 - 3x$.
Объем прямоугольного параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{высота}$. Подставим наши выражения для измерений, чтобы получить объем как функцию от одной переменной $x$:
$V(x) = 2x \cdot x \cdot (18 - 3x) = 2x^2(18 - 3x) = 36x^2 - 6x^3$.
Для нахождения наибольшего объема необходимо найти максимум функции $V(x)$. Для этого найдем ее производную по $x$:
$V'(x) = (36x^2 - 6x^3)' = 72x - 18x^2$.
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$72x - 18x^2 = 0$
$18x(4 - x) = 0$
Критическими точками являются $x = 0$ и $x = 4$. Поскольку размеры должны быть положительными, то $x > 0$ и $h = 18 - 3x > 0$, откуда $x < 6$. Таким образом, мы ищем максимум на интервале $(0, 6)$. Точка $x=0$ не входит в данный интервал, поэтому мы рассматриваем только $x=4$.
Чтобы убедиться, что $x=4$ является точкой максимума, используем вторую производную:
$V''(x) = (72x - 18x^2)' = 72 - 36x$.
При $x=4$, $V''(4) = 72 - 36 \cdot 4 = 72 - 144 = -72$. Так как вторая производная отрицательна, в этой точке функция достигает максимума.
Теперь вычислим измерения параллелепипеда и его максимальный объем:
Ширина: $x = 4$.
Длина: $2x = 2 \cdot 4 = 8$.
Высота: $h = 18 - 3x = 18 - 3 \cdot 4 = 18 - 12 = 6$.
Наибольший объем: $V = 4 \cdot 8 \cdot 6 = 192$.
Ответ: 192

б) Данный пункт является обобщением предыдущего. Пусть сумма трех измерений равна $a$. Обозначим ширину как $x$, тогда длина равна $2x$, а высоту обозначим как $h$.
Из условия о сумме измерений получаем: $x + 2x + h = a$, или $3x + h = a$. Отсюда высота $h = a - 3x$.
Объем как функция от $x$:
$V(x) = 2x \cdot x \cdot (a - 3x) = 2x^2(a - 3x) = 2ax^2 - 6x^3$.
Так как все измерения должны быть положительными, то $x > 0$ и $h = a - 3x > 0$, что означает $x < a/3$ (предполагая $a>0$). Мы ищем максимум функции на интервале $(0, a/3)$.
Найдем производную функции объема:
$V'(x) = (2ax^2 - 6x^3)' = 4ax - 18x^2$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$4ax - 18x^2 = 0$
$2x(2a - 9x) = 0$
Критические точки: $x = 0$ и $x = \frac{2a}{9}$. Точка $x=0$ не входит в рассматриваемый интервал. Точка $x = \frac{2a}{9}$ принадлежит интервалу $(0, a/3)$, поскольку $0 < \frac{2a}{9} < \frac{3a}{9} = \frac{a}{3}$.
Проверим знак второй производной, чтобы определить характер экстремума:
$V''(x) = (4ax - 18x^2)' = 4a - 36x$.
$V''(\frac{2a}{9}) = 4a - 36 \cdot \frac{2a}{9} = 4a - 4 \cdot 2a = -4a$.
Поскольку $a$ (сумма длин) является положительной величиной, $V''(\frac{2a}{9}) < 0$, что подтверждает, что при $x = \frac{2a}{9}$ объем максимален.
Найдем измерения и наибольший объем:
Ширина: $x = \frac{2a}{9}$.
Длина: $2x = \frac{4a}{9}$.
Высота: $h = a - 3x = a - 3 \cdot \frac{2a}{9} = a - \frac{2a}{3} = \frac{a}{3}$.
Наибольший объем: $V = \frac{2a}{9} \cdot \frac{4a}{9} \cdot \frac{a}{3} = \frac{8a^3}{243}$.
Ответ: $\frac{8a^3}{243}$