Номер 19, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

19. (4) В фигуру, ограниченную линиями $y=x^2$, $y=2x^2$, $x=6$ вписан параллелограмм наибольшей площади так, что две его вершины лежат на прямой $x=6$, а две другие - на параболах $y=x^2$, $y=2x^2$. Найдите эту площадь.

Пусть параллелограмм имеет вершины A, B, C и D. По условию, две вершины лежат на прямой $x=6$, а две другие — на параболах $y=x^2$ и $y=2x^2$.

Пусть сторона параллелограмма, соединяющая вершины на прямой $x=6$, является вертикальным отрезком. Тогда противоположная ей сторона, соединяющая вершины на параболах, также должна быть вертикальным отрезком. Это означает, что эти две вершины должны иметь одинаковую абсциссу, обозначим ее за $x$.

Пусть вершина A лежит на параболе $y=x^2$, тогда ее координаты $A(x, x^2)$.
Пусть вершина B лежит на параболе $y=2x^2$, тогда ее координаты $B(x, 2x^2)$.

Очевидно, что для нахождения внутри заданной фигуры, абсцисса $x$ должна удовлетворять условию $0 < x < 6$.

Две другие вершины C и D лежат на прямой $x=6$.

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота.

В качестве основания возьмем сторону, соединяющую вершины на параболах. Длина этого основания равна разности их ординат:
$a = |2x^2 - x^2| = x^2$.

Высотой параллелограмма будет перпендикулярное расстояние между сторонами, то есть расстояние между прямыми $x' = x$ и $x' = 6$.
$h = 6 - x$.

Таким образом, площадь параллелограмма является функцией от $x$:
$S(x) = a \cdot h = x^2(6-x) = 6x^2 - x^3$.

Чтобы найти наибольшую площадь, нужно найти максимум функции $S(x)$ на интервале $(0, 6)$. Для этого найдем производную функции $S(x)$ и приравняем ее к нулю.

$S'(x) = (6x^2 - x^3)' = 12x - 3x^2$.

Найдем критические точки, решив уравнение $S'(x) = 0$:
$12x - 3x^2 = 0$
$3x(4 - x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Точка $x=0$ не входит в наш интервал $(0, 6)$ и при ней площадь равна нулю. Точка $x=4$ принадлежит интервалу. Чтобы проверить, является ли эта точка точкой максимума, найдем вторую производную:

$S''(x) = (12x - 3x^2)' = 12 - 6x$.

Подставим значение $x=4$ во вторую производную:
$S''(4) = 12 - 6 \cdot 4 = 12 - 24 = -12$.

Поскольку $S''(4) < 0$, точка $x=4$ является точкой максимума.

Теперь найдем наибольшую площадь, подставив $x=4$ в функцию площади $S(x)$:
$S(4) = 4^2 \cdot (6 - 4) = 16 \cdot 2 = 32$.

Ответ: 32.