Номер 17, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17. (3)

Рассматриваются прямоугольники, две вершины которых лежат на оси $x \in \left[0; \frac{\pi}{4}\right]$, а две другие – на графике функции $y=\sin 4x$, заданной на отрезке $x \in \left[0; \frac{\pi}{4}\right]$. Среди всех таких прямоугольников найдите стороны того, который имеет наибольший периметр.

Пусть вершины прямоугольника имеют координаты $(x_1, 0)$, $(x_2, 0)$, $(x_2, y)$ и $(x_1, y)$, где $x_1, x_2 \in [0; \frac{\pi}{4}]$ и $y > 0$. Две верхние вершины лежат на графике функции $y = \sin(4x)$, поэтому их ордината $y$ должна удовлетворять условиям $y = \sin(4x_1)$ и $y = \sin(4x_2)$.

Так как на отрезке $[0; \frac{\pi}{4}]$ аргумент функции синуса $4x$ пробегает значения от $0$ до $\pi$, то $\sin(4x) \ge 0$. Условие $\sin(4x_1) = \sin(4x_2)$ при $x_1 \neq x_2$ на этом отрезке означает, что точки $4x_1$ и $4x_2$ симметричны относительно $\frac{\pi}{2}$. Следовательно, $4x_1 + 4x_2 = \pi$, откуда $x_2 = \frac{\pi}{4} - x_1$. Будем считать, что $x_1 < x_2$, что означает $x_1 < \frac{\pi}{4} - x_1$, или $2x_1 < \frac{\pi}{4}$, то есть $x_1 < \frac{\pi}{8}$. Таким образом, $x_1$ может принимать значения из отрезка $[0; \frac{\pi}{8}]$.

Обозначим $x_1$ через $x$ для удобства. Тогда $x \in [0; \frac{\pi}{8}]$.

Стороны прямоугольника:

Высота $h$ равна ординате верхних вершин: $h = y = \sin(4x)$.

Ширина $w$ равна разности абсцисс: $w = x_2 - x_1 = (\frac{\pi}{4} - x) - x = \frac{\pi}{4} - 2x$.

Периметр прямоугольника $P$ является функцией от $x$:
$P(x) = 2(w + h) = 2 \left( \frac{\pi}{4} - 2x + \sin(4x) \right)$.

Нам необходимо найти максимальное значение функции $P(x)$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{8}]$. Для этого найдем производную функции $P(x)$ по $x$:

$P'(x) = 2 \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} - 2x + \sin(4x) \right) = 2(-2 + 4\cos(4x)) = 8\cos(4x) - 4$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$8\cos(4x) - 4 = 0$

$\cos(4x) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Поскольку $x \in [0; \frac{\pi}{8}]$, то $4x \in [0; \frac{\pi}{2}]$. Единственное решение уравнения $\cos(t) = \frac{1}{2}$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ — это $t = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, $4x = \frac{\pi}{3}$, откуда $x = \frac{\pi}{12}$. Эта точка принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{8}]$, так как $0 < \frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{8}$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, найдем вторую производную:

$P''(x) = (8\cos(4x) - 4)' = -8\sin(4x) \cdot 4 = -32\sin(4x)$.

При $x = \frac{\pi}{12}$ значение второй производной:

$P''\left(\frac{\pi}{12}\right) = -32\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = -32\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -16\sqrt{3} < 0$.

Так как вторая производная отрицательна, точка $x = \frac{\pi}{12}$ является точкой максимума. Поскольку это единственная критическая точка на интервале $(0; \frac{\pi}{8})$, то в ней достигается наибольшее значение функции на отрезке $[0; \frac{\pi}{8}]$.

Теперь найдем стороны прямоугольника при $x = \frac{\pi}{12}$:

Ширина: $w = \frac{\pi}{4} - 2x = \frac{\pi}{4} - 2\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

Высота: $h = \sin(4x) = \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: стороны прямоугольника с наибольшим периметром равны $\frac{\pi}{12}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.