Номер 20, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

20. (6)

Требуется построить несколько одинаковых домов общей жилой площадью 40 000 м². Затраты на постройку одного дома общей жилой площадью S складываются из стоимости фундамента, пропорциональной $ \sqrt{S} $, и стоимости наземной части, пропорциональной $ S\sqrt{S} $. При строительстве дома жилой площадью 400 м² 80% затрат идет на фундамент. Сколько надо построить домов, чтобы затраты были наименьшими?

Пусть $n$ — количество строящихся домов, а $S$ — жилая площадь одного дома. Общая жилая площадь составляет $40000$ м², поэтому площадь одного дома равна $S = \frac{40000}{n}$.

Затраты на постройку одного дома $C(S)$ складываются из стоимости фундамента, пропорциональной $\sqrt{S}$, и стоимости наземной части, пропорциональной $S\sqrt{S}$. Введем коэффициенты пропорциональности $k_1 > 0$ и $k_2 > 0$:
$C(S) = k_1\sqrt{S} + k_2 S\sqrt{S}$.

По условию, при строительстве дома с $S = 400$ м², затраты на фундамент составляют 80% от общих затрат на дом. Запишем это в виде уравнения:
$k_1\sqrt{400} = 0.8 \cdot (k_1\sqrt{400} + k_2 \cdot 400\sqrt{400})$
$k_1 \cdot 20 = 0.8 \cdot (k_1 \cdot 20 + k_2 \cdot 400 \cdot 20)$
$20k_1 = 0.8 \cdot (20k_1 + 8000k_2)$
$20k_1 = 16k_1 + 6400k_2$
$4k_1 = 6400k_2$
$k_1 = 1600k_2$.
Это соотношение между коэффициентами затрат.

Общие затраты на постройку всех $n$ домов $C_{общ}(n)$ равны произведению количества домов на стоимость одного дома:
$C_{общ}(n) = n \cdot C(S) = n \cdot (k_1\sqrt{S} + k_2 S\sqrt{S})$.
Подставим в эту формулу $S = \frac{40000}{n}$:
$C_{общ}(n) = n \cdot \left(k_1\sqrt{\frac{40000}{n}} + k_2 \frac{40000}{n}\sqrt{\frac{40000}{n}}\right)$
$C_{общ}(n) = n \cdot \left(k_1\frac{200}{\sqrt{n}} + k_2 \frac{40000}{n}\frac{200}{\sqrt{n}}\right)$
$C_{общ}(n) = 200k_1\sqrt{n} + \frac{8000000k_2}{\sqrt{n}}$.
Теперь используем соотношение $k_1 = 1600k_2$, чтобы выразить затраты через один коэффициент $k_2$:
$C_{общ}(n) = 200(1600k_2)\sqrt{n} + \frac{8000000k_2}{\sqrt{n}} = k_2 \left(320000\sqrt{n} + \frac{8000000}{\sqrt{n}}\right)$.

Чтобы найти количество домов $n$, при котором затраты будут наименьшими, нужно найти точку минимума функции $C_{общ}(n)$. Так как $k_2$ является положительной константой, это эквивалентно нахождению минимума функции $f(n) = 320000\sqrt{n} + \frac{8000000}{\sqrt{n}}$. Найдем производную $f'(n)$ и приравняем ее к нулю:
$f'(n) = \left(320000n^{1/2} + 8000000n^{-1/2}\right)' = 320000 \cdot \frac{1}{2}n^{-1/2} + 8000000 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)n^{-3/2}$
$f'(n) = 160000n^{-1/2} - 4000000n^{-3/2} = \frac{160000}{\sqrt{n}} - \frac{4000000}{n\sqrt{n}}$.
Приравняем производную к нулю:
$\frac{160000}{\sqrt{n}} - \frac{4000000}{n\sqrt{n}} = 0 \implies \frac{160000}{\sqrt{n}} = \frac{4000000}{n\sqrt{n}}$
Учитывая, что $n > 0$, умножим обе части на $n\sqrt{n}$:
$160000n = 4000000$
$n = \frac{4000000}{160000} = \frac{400}{16} = 25$.
Это точка экстремума. Исследование знака производной показывает, что при переходе через точку $n=25$ она меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. Таким образом, для минимизации затрат необходимо построить 25 домов.
Ответ: 25.